Sistemi LTI a tempo discreto

Capitolo 4 – Sistemi LTI a Tempo Discreto

Documento di Studio per l'Esame

1. DEFINIZIONI IMPORTANTI

1.1 Segnali Notevoli

In un sistema LTI a tempo discreto, si assume istante iniziale e per ogni .

k = 0 u(k) = 0 k < 0

Impulso unitario (Kronecker): 1 k = 0

δ(k) = { ​ ​

0 k 

= 0

Gradino unitario: 1 k ≥ 0

1(k) = { ​ ​

0 k < 0

Segnale canonico: k k!

r ( k) = ( ) 1(k) = 1(k), n = 0, 1, 2, …

⋅

⋅

n ​ ​ ​

n n! (k − n)! k(k − 1)

: gradino; : rampa lineare ; : rampa parabolica .

1(k)

n = 0 n = 1 r (k) = k 1(k) n = 2 r (k) =

1 2

​ ​ ​

2

Segnale esponenziale: , con .

k

u(k) = ρ 1(k) ρ ∈ R

Casi particolari: gradino; impulso ( ); .

0 k

ρ = 1 ⇒ ρ = 0 ⇒ 0 = 1 ρ = −1 ⇒ (−1) 1(k)

Comportamento: divergente; convergente; limitato non convergente.

∣ρ∣ > 1 ∣ρ∣ < 1 ∣ρ∣ = 1

k

Rampa esponenziale: .

k

u(k) = ( ) ρ 1(k)

​

n

Per : esponenziale; per : segnale canonico.

n = 0 ρ = 1

Segnale sinusoidale / cosinusoidale:

jωk −jωk jωk −jωk

e − e e + e

sin(ωk) 1(k) = 1(k), cos(ωk) 1(k) = 1(k)

​ ​

2j 2

Sono combinazioni lineari di esponenziali a base complessa .

±jω

e

Decomposizione in impulsi: Ogni segnale a tempo discreto si scrive come

+∞

u(k) = ∑ δ(k i)

u(i) −

​

i=0

(analogo discreto di ).

+∞ u(τ ) −

u(t) = ∫ δ(t τ ) dτ

​

0

1.2 Trasformata Zeta

Definizione: Sia per e per . La trasformata Zeta è:

k

f (k) = 0 k < 0 ∣f (k)∣ ≤ M ρ k ≥ k 0

0 ​ ​

+∞ −k

F (z) = Z [f (k)] = ∑ f z ρ

(k) , ∣z∣ > 0

​ ​

k=0

dove è il raggio di convergenza. La serie converge all'esterno del cerchio di raggio nel piano

ρ ρ

0 0

​ ​

complesso.

Funzione razionale fratta :

F (z) = N (z)/D(z)

• Strettamente propria: deg N < deg D

• Propria: deg N = deg D

• Impropria: deg N > deg D

Nota: le trasformate Zeta elementari (es. ) sono proprie, non strettamente proprie (diverso da

z/(z − ρ)

Laplace).

1.3 Funzione di Trasferimento

Dalla rappresentazione i/o: n n−1 n−m

b z + b z + ⋯ + b z

0 1 m

​ ​ ​

G(z) = ​

n n−1

z + a z + ⋯ + a

1 n

​ ​

Dalla rappresentazione i/s/o: , :

x(k + 1) = Ax(k) + B u(k) y(k) = C x(k) + Du(k)

−1

G(z) = C (zI − B D

A) +

Poli e polinomio caratteristico:

• Poli: radici di = radici del denominatore di .

det(zI − A) = 0 G(z)

• Il denominatore è il polinomio caratteristico del sistema.

Modi del sistema: funzioni del tempo discreto che compongono la risposta libera, associate ai poli.

Poli Modi generati

, semplice (aperiodico)

k

p ∈ R p 1(k)

, semplice ,

±j φ k k

p = ρe ∈ C ρ cos(φk) 1(k) ρ sin(φk) 1(k)

, multiplo (tutti )

k k μ−1 k

p ∈ R μ > 1 p , kp , … , k p × 1(k)

, multiplo , ,

±j φ i k i k

p = ρe μ > 1 k ρ cos(φk) k ρ sin(φk) i = 0, … , μ − 1

(impulsivo)

p = 0 δ(k)

Convergenza dei modi: Condizione Carattere

(interno al cerchio unitario) Convergente

∣p∣ < 1 , polo semplice Limitato non convergente

∣p∣ = 1

, oppure con Divergente

∣p∣ > 1 ∣p∣ = 1 μ > 1

Nello spazio degli stati: conv. se ; lim. non conv. se e molt. alg. molt. geom.; div.

∣λ∣ < 1 ∣λ∣ = 1 =

altrimenti.

Guadagno stazionario: Se tutti i poli di hanno , la risposta al gradino a regime vale .

G(z) ∣p∣ < 1 G(1)

2. FORMULE DA MEMORIZZARE

2.1 Trasformate Zeta dei segnali notevoli Convergenza

f (k) F (z) = Z [f (k)]

δ(k) 1 ∀ z

z

1(k) ∣z∣ > 1

​

z − 1

z

k

ρ 1(k) ∣z∣ > ∣ρ∣

​

z − ρ

z

k 1(k) ∣z∣ > 1

​

2

(z − 1)

z

k 1(k)

( ) ∣z∣ > 1

​

n+1

​ (z − 1)

n n

ρ z

k k 1(k)

( ) ρ ∣z∣ > ∣ρ∣

​ ​

n+1

n (z − ρ)

2