Volume di un solido di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici

Integrale definito e volume di un solido di rotazione

Volume di un solido di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici

Il concetto di integrale definito è fondamentale per calcolare il volume di un solido di rotazione utilizzando il metodo dei gusci cilindrici. Consideriamo la formula:

V = _lim^n→+∞ _∑ⁱ⁼¹ⁿ (2πc_i) f(c_i) Δx = ∫_a^b 2πx f(x) dx

Questa espressione rappresenta la somma di Riemann relativa alla funzione (2πx)f(x) nell'intervallo [a, b].

Calcolo del volume per un solido generato dalla rotazione

Calcoliamo il volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse x del trapezoide limitato dal grafico della funzione y = ⁴/_x e dalle rette x = 1 e x = 3.

Il volume del solido è dato dall'integrale:

π ∫₁³ [f(x)]² dx = π∫₁^{3 16}/_x² dx

Calcolando tale integrale, troverai che il volume del solido è:

Volume = ^32π/₃

Determinazione del volume tramite due metodi

Consideriamo la regione finita di piano limitata dai grafici delle funzioni f(x) = x² + 2 e g(x) = 4 − x². Determiniamo il volume del solido generato dalla rotazione di questa regione di piano intorno alla retta di equazione y = −2.

Si può ragionare in due modi diversi, ma fra loro equivalenti.

1° modo: utilizzando il metodo delle sezioni

Tracciamo anzitutto i grafici delle due parabole e calcoliamo le coordinate dei loro punti di intersezione. Si trova così che le due parabole si intersecano nei punti di coordinate (±1, 3) e che la regione di piano da esse delimitata è quella colorata in figura a.

Le sezioni del solido con piani perpendicolari all’asse x sono corone circolari; in particolare, l’area della sezione ottenuta con il piano passante per (x, 0) è:

S(x) = πR² − πr² = π[g(x) + 2]² − π[f(x) + 2] = π(6 − x²)² − π(x² + 4)²

Il volume del solido è allora:

V = ∫₋₁¹ S(x) dx = ∫₋₁¹ [π(6 − x²)² − π(x² + 4)²] dx = π∫₋₁¹ (6 − x²)² dx − π∫₋₁¹ (x² + 4)² dx

Svolgendo i calcoli si trova V = ^80π/₃.

2° modo: utilizzando una opportuna traslazione

Effettuiamo una traslazione di vettore V(0, 2) in modo da trasformare l’asse di rotazione nell’asse x e poter applicare quindi le formule ordinarie. Tale traslazione trasforma le due parabole date in quelle di equazioni:

f₁(x) = x² + 4 e g₁(x) = 6 − x² che si intersecano in (±1, 5).

Per trovare il volume V del solido originario dobbiamo:

1. Calcolare il volume V₁ del solido generato dalla rotazione intorno all’asse x del trapezoide limitato dal grafico di g₁(x) = 6 − x² nell’intervallo [−1, 1];
2. Calcolare il volume V₂ del solido generato dalla rotazione intorno all’asse x del trapezoide limitato dal grafico di f₁(x) = x² + 4 nell’intervallo [−1, 1];
3. Sottrarre da V₁ il valore di V₂.