Esercizi svolti di calcolo volume solido con integrali

Calcolo del volume per strati

Consideriamo il calcolo del volume tramite l'integrale triplo ∭_T dx dy dz dove _1-z². La regione T è un cono circolare con vertice nell'origine, asse coincidente con l'asse z, raggio di base uguale a 1 e altezza pari a ¹/₂.

Formula dell'integrale

La formula dell'integrale è la seguente:

∫₀^1/2 ∬_Tz ^γ/_1-z² dx dy dz = ∫₀^1/2 ∬_1-z² dx dy dz

Definiamo ρ come x² e y² = ρ². L'equazione diventa h²x² + y² = 4z². L'area del cerchio è πR² ma R² = 4z², quindi = 4π.

Settare le variabili

Ora per settare z = sent, dz = cost dt. Allora 1-z² = N 1-sent² = N ρcos^t è il modulo di cosΔ.

Sez = sent, t - arctanz, z₂ = 0, t = arctan^γ = 4π ∫₀^π/6 ρsent dt. Questo si può vedere per parti = 4π [ ^{υ/υ-o-sub cons [ 1/₂(1-2sent cost)l}.

= 4π [ ¹/₂ (λυ)³(½) - 2πα(½).

Calcolo del volume di Ω

Calcolare il volume di Ω: {(x, 4, 7)ϵℝ³ : 0 ≤ z ≤ 1, x² + y² + z ≤ 0 }.

∭_Ω dx dy dt = ∬₀¹ dx dy dz - ∬_Ω x² + y² = z.

Ω → autosfera centrata nell'origine con raggio √leΩ = ∫₀^Ω πα dz = πΥ² z^1/2 - πα/Υ/

Integrali tripli in coordinate cilindriche

∬_V e ^2-x2-y2 dx dy d7V := {(x, Ⅳ) RX³: 0}