Urti bidimensionali

Urti bidimensionali

Urti

Urti bidimensionali

Urti

Un sfera di massa m che scivola con velocità v_o su di un piano orizzontale senza attrito, ne urta elasticamente un altra di massa M, inizialmente ferma. Dopo l'impatto, la massa m viene deviata dal suo percorso di un angolo θ, mentre la sfera di massa M subisce la deviazione φ (Figura 6.6 ). Determinare le rispettive velocità v e V dei due corpi dopo l'urto e l'angolo φ, in funzione di θ, v_o e μ = M/m, discutendo i risultati al variare di θ e μ.

(Figura 6.6)

Fissiamo il sistema di riferimento cartesiano xOy con l'origine nel punto di impatto e l'asse x avente la direzione ed il verso di v₀. La conservazione della quantità di moto, essendo l'urto bidimensionale, fornisce due equazioni scalari che vengono combinate con l'equazione di conservazione dell'energia cinetica:

{ m v₀ = m v cosθ + M V cosφ0 = m v senθ − M V senφ(½) m v₀² = (½) m v² + (½) M V² }

(1)

Il segno meno nella seconda equazione indica che le componenti verticali delle velocità devono essere necessariamente opposte di segno dato che lungo l’asse y la quantità di moto iniziale è nulla. Presupponendo note le due masse e la velocità v₀, il sistema (1) si presenta con un numero di incognite superiore al numero delle equazioni [3 equazioni e 4 incognite (v, V, θ, φ)]. Quindi il problema è risolvibile soltanto se viene fornito un dato in più, ad esempio l’angolo θ. Ciò premesso, introducendo il rapporto delle masse μ = M/m, il sistema può essere scritto nella forma più semplice:

{ v cosθ + μ V cosφ = v₀v senθ − μ V senφ= 0v² + μ V² = v₀² }

(2)

Possiamo ora eliminare φ dalle prime due equazioni scrivendole nel modo seguente:

{ μ V cosφ = v₀ − v cosθμ V senφ = v senθ }

Elevando al quadrato e sommando membro a membro si deduce l’equazione:

μ² V² (cos²φ + sen²φ) = (v₀ − v cosθ)² + v² sen²θ

Svolgendo i calcoli e, ricordando la nota relazione pitagorica della trigonometria valida per qualunque angolo α (cos²α + sen²α = 1), si ottiene facilmente:

μ² V² = v₀² + v² − 2 v₀ v cosθ

(3)

Combinando la (3) con la terza delle (2) scritta nella forma:

μ² V² = μ v₀² − μ v²

otteniamo, con qualche passaggio, l’equazione risolvente nell’unica incognita v:

(1+μ) v² – 2 (v₀ cosθ) v + (1–μ) v₀² = 0

(4)

La (4) è un'equazione di 2^o grado completa che fornisce le soluzioni:

v=

v=₀[cosθ±√cos²θ–(1–μ)²]

1+μ

Ricordando infine che 1 – cos²θ = sen²θ, possiamo esprimere il risultato nella forma:

v=

v=₀[cosθ±√μ²–sen²θ]

1+μ

(5)

Osserviamo subito che i moduli delle velocità sono positivi per definizione mentre le loro componenti lungo gli assi cartesiani possono essere positive o negative a seconda del verso. Inoltre la figura 6.6 (si osservi la posizione scelta per i centri di massa dei due corpi) suggerisce di considerare 0°< θ < 180°; i casi particolari θ=0°,180° verranno trattati a parte. Utilizzando infine la regola di Cartesio relativa al segno delle radici di un’equazione di 2^o grado e ricordando che μ > 0, si può concludere che la (4) fornisce: due soluzioni positive se senθ < μ < 1 e 0°< θ < 90°; una soluzione positiva se μ > 1 e 0°< θ < 180°. Ciò può essere sintetizzato nel seguente schema:

• 0
• senθ
• 1
• μ

• Nessuna Soluzione
• Due Soluzioni 0°< θ < 90°
• Una Soluzione 0°< θ < 180°

Conoscendo v, è possibile determinare anche V utilizzando la (3):

V=

V=₀²–2v₀v cosθ+v²

μ

oppure dalla terza delle (2) otteniamo il risultato completo:

V² =  _V0² ⁄ _μ  [1 (cosθ μ² sen²θ)² ⁄(1 μ)²           (6)

Per quanto concerne l’angolo φ, utilizzando la seconda delle (2) (essendo ormai note v e V), possiamo scrivere brevemente:

                  senφ = _{v senθ} ⁄ _μ V                   (7)

e dunque:           

          φ=arcsen( _{v senθ} ⁄ _μ V )           (8)

Analizziamo ora i casi particolari:

Se θ = 0^o oppure θ = 180^o ritroviamo il caso dell’urto monodimensionale (infatti φ = 0^o). Più interessante è invece il caso in cui µ = 1 ovvero il caso dell’urto bidimensionale tra masse uguali. Dalla (5) otteniamo:

           ⁄  v = 0

         ⁄  v =  _v0 ⁄ ₂ (cosθ ± cosθ)           ⁄

        ⁄  v = v₀cosθ

e dalla (6):

         ⁄  V = v₀

         ⁄  V =     V₀√[1 (cosθ&plus cosθ)²&rbrack>⁄ ₄         ⁄

        ⁄  V = v₀senθ

La soluzione:   ↑

          ⁄

         ⁄  v = 0

V = v₀          →

corrisponde ad un urto monodimensionale tra masse uguali, σ.

La soluzione:

       ↑(v = v₀cosθ

       ⁄

       ⁄  V = v₀senθ→

esprime il fatto che θ e φ sono complementari. Infatti dalla (7) si trova senφ = cosθ e ricordando la nota relazione trigonometrica cosα = sen(90^oα) si deduce: