Urti bidimensionali

Urti bidimensionali

Urti

Una sfera di massa m che scivola con velocità v₀ su di un piano orizzontale senza attrito, ne urta elasticamente un'altra di massa M, inizialmente ferma. Dopo l'impatto, la massa m viene deviata dal suo percorso di un angolo θ, mentre la sfera di massa M subisce la deviazione φ (Figura 6.6). Determinare le rispettive velocità v e V dei due corpi dopo l'urto e l'angolo φ, in funzione di θ, v₀ e μ = M/m, discutendo i risultati al variare di θ e μ.

(Figura 6.6)

Sistema di riferimento e conservazione

Fissiamo il sistema di riferimento cartesiano xOy con l’origine nel punto di impatto e l’asse x avente la direzione ed il verso di v₀. La conservazione della quantità di moto, essendo l’urto bidimensionale, fornisce due equazioni scalari che vengono combinate con l’equazione di conservazione dell’energia cinetica:

{
m v₀ = m v cosθ + M V cosφ
0 = m v senθ - M V senφ
(1/2) m v₀² = (1/2) m v² + (1/2) M V²
}

Il segno meno nella seconda equazione indica che le componenti verticali delle velocità debbono essere necessariamente opposte di segno dato che lungo l’asse y la quantità di moto iniziale è nulla. Presupponendo note le due masse e la velocità v₀, il sistema (1) si presenta con un numero di incognite superiore al numero delle equazioni [3 equazioni e 4 incognite (v, V, θ, φ)]. Quindi il problema è risolvibile soltanto se viene fornito un dato in più, ad esempio l’angolo θ. Ciò premesso, introducendo il rapporto delle masse μ = M/m, il sistema può essere scritto nella forma più semplice:

{
v cosθ + μ V cosφ = v₀
v senθ - μ V senφ = 0
v² + μ V² = v₀²
}

Eliminazione di φ

Possiamo ora eliminare φ dalle prime due equazioni scrivendole nel modo seguente:

{
μ V cosφ = v₀ - v cosθ
μ V senφ = v senθ
}

Elevando al quadrato e sommando membro a membro si deduce l’equazione:

μ² V² (cos²φ + sen²φ) = (v₀ - v cosθ)² + v² sen²θ

Svolgendo i calcoli e, ricordando la nota relazione pitagorica della trigonometria valida per qualunque angolo α (cos²α + sen²α = 1), si ottiene facilmente:

μ² V² = v₀² + v² - 2 v₀ v cosθ (3)

Combinando la (3) con la terza delle (2) scritta nella forma:

μ² V² = μ v₀² - μ v²

otteniamo, con qualche passaggio, l'equazione risolvente nell'unica incognita v:

(1+mu) v² - 2 (v₀ cosT) v + (1-mu) v₀² = 0 (4)

La (4) è un'equazione di 2° grado completa che fornisce le soluzioni:

v = v₀[cosT +- sqrt(cos²T-(1-mu²))]/(1+mu)

Ricordando infine che 1 - cos²T = sen²T, possiamo esprimere il risultato nella forma:

v = v₀[cosT +- sqrt(mu² - sen²T)]/(1+mu) (5)

Risultati al variare di θ e μ

Osserviamo subito che i moduli delle velocità sono positivi per definizione mentre le loro componenti lungo gli assi cartesiani possono essere positive o negative a seconda del verso. Inoltre la figura 6.6 (si osservi la posizione scelta per i centri di massa dei due corpi) suggerisce di considerare:

• 0° Nessuna soluzione
• Due soluzioni 0° < T < 90°
• Una soluzione 0° < T < 180°

Conoscendo v, è possibile determinare anche V utilizzando la (3):

V = sqrt(v₀² - 2 v₀ v cosT + v²)/mu

oppure dalla terza delle (2) otteniamo il risultato completo:

v² = (v₀²/mu) [1 - ((cos theta +- sqrt(mu² - sen² theta)) / (1+mu))²] (6)

Per quanto concerne l'angolo phi, utilizzando la seconda delle (2) (essendo ormai note v e V), possiamo scrivere brevemente:

sen phi = (v sen theta) / (mu V) (7)

e dunque:

phi = arcsen((v sen theta) / (mu V)) (8)

Casi particolari

Analizziamo ora i casi particolari:

Se theta = 0° oppure theta = 180° ritroviamo il caso dell'urto monodimensionale (infatti phi = 0°). Più interessante è invece il caso in cui mu = 1 ovvero il caso dell'urto bidimensionale tra masse uguali. Dalla (5) otteniamo:

v = v₀/2 (cos theta +- cos theta)

v = 0

v = v₀ cos theta

e dalla (6):

V = v₀ sqrt(1 - ((cos theta +- cos theta)²)/4)

V = v₀

V = v₀ sen theta

La soluzione:

{
v = 0
V = v₀
}

corrisponde ad un urto monodimensionale tra masse uguali. La soluzione:

{
v = v₀ cos theta
V = v₀ sen theta
}

esprime il fatto che theta e phi sono complementari. Infatti dalla (7) si trova sen phi = cos theta e ricordando la nota relazione trigonometrica cos alpha = sen(90° - alpha) si deduce: