Una ruota piuttosto pesante

Una ruota piuttosto pesante

Statica

Una ruota piuttosto pesante

Una ruota, di raggio R e peso Mg = 200 Kgf, deve superare un gradino di altezza h = R/4. Sono disponibili delle funi non molto robuste, aventi carico di rottura ignoto T_o e si procede per tentativi. Dapprima viene applicata una forza al centro di gravità C della ruota, secondo diverse angolazioni rispetto all’orizzontale, ma la corda si spezza sempre. Poi si lega la fune ad un raggio della ruota in A tirandola secondo angoli diversi, ma senza risultato. Si applicano allora due forze orizzontali di uguale modulo F_o, delle quali, una è applicata in A, l’altra in C (Figura 8.10.1). In tal modo viene raggiunto il carico di rottura T_o delle funi che risulta dunque uguale ad F_o. Dopo tutti questi tentativi restano ancora a disposizione soltanto due funi. Si suggerisca almeno un’altra configurazione della coppia di forze che consenta di raggiungere lo scopo senza rompere le funi.

(Figura 8.10.1)

Osserviamo anzitutto che per sollevare la ruota al di sopra del gradino è necessario che i momenti delle forze esterne riescano a superare il momento di opposizione dovuto al peso della ruota. Deve dunque valere la relazione:

M_i (F_i,est) > M (Mg)

È stata introdotta la sommatoria a primo membro della (1) perché dal testo si deduce che con una sola fune (e quindi con una sola forza) non è possibile mantenersi al di sotto del suo carico di rottura T₀. Ciò premesso, con l'aiuto della Figura 8.10.1, calcoliamo F₀ mediante l’equazione dell’equilibrio dei momenti:

M₀ (Mg) − M₁ (F₀) − M₂ (F₀) = 0

Ove M₀ è il momento del peso applicato in C, M₁ quello di F₀ in A ed M₂ quello di F₀ in C; tutti i momenti sono calcolati rispetto al punto O di contatto ruota-gradino. Il braccio relativo ad M₀ è il segmento OH, quello di M₁ è AH e quello di M₂ è CH. Tutti i bracci, ricordando che BH = R/4, sono determinabili geometricamente nel modo seguente:

AH = AB − BH = 2 R − R/4 = 7/4 R

CH = CB − BH = R − R/4 = 3/4 R

E mediante il teorema di Pitagora:

OH = √(CO² − CH²) = √(R² − 9/16 R²) = 1/4 R √7

Noti i bracci, la (2) assume la forma:

Mg R/4 √7 − F₀ 7/4 R − F₀ 3/4 R = 0

Dopo aver semplificato i fattori comuni R e 1/4, essendo, come espresso dal testo, F₀ = T₀ ed Mg = 200 KgP, si deduce:

T₀ = 1/10 Mg √7 = 52,9 KgP