Un urto tra due corpi sul piano

Un urto tra due corpi sul piano: impulso e quantità di moto. Un urto tra due corpi sul piano: impulso e quantità di moto

Due masse A e B entrambe di 2 Kg che si muovono su di un piano senza attrito xOy, si urtano. Le velocità prima dell’urto espresse in forma vettoriale cartesiana in unità S.I. sono: v_A = 15 i + 30 j e v_B = -10 i + 5 j (Figura. 5.8.a).

Dopo l’urto si sa che v'_A = -5 i + 20 j. Calcolare la velocità v'_B di B e determinare quanta energia cinetica è stata persa o acquistata durante l’urto.

Poiché nell’urto le due masse non sono soggette a forze esterne, possiamo considerare il sistema isolato e dunque la somma delle componenti della quantità di moto iniziale rispettivamente sull’asse x e sull’asse y dovrà uguagliare la somma delle corrispondenti componenti della quantità di moto dopo l’urto.

Inoltre, poiché i corpi A e B hanno masse uguali, le equazioni che ora scriveremo non dipendono da m. Indicati infine con x_B' ed y_B' i moduli (orientati) delle componenti di v_B' possiamo scrivere:

15 i – 10 i = – 5 i + x_B' i (1)

30 j + 5 j = 20 j + y_B' j (2)

Dalla (1) otteniamo facilmente x_B' = +10 m/s e dalla (2) y_B' = +15 m/s. Dunque è possibile esprimere il vettore v_B' (Figura. 5.8.b) nel modo seguente:

v_B' = 10 i + 15 j

Dalla teoria del calcolo vettoriale sappiamo che:

v_B'² = x_B'² + y_B'²

Dunque

v_B' = √x_B'² + y_B'² ≡ 18 m/s. (3)

Per quanto concerne l’energia cinetica prima dell’urto, essa è espressa da:

E_Ci = (½) m v_A'² + (½) m v_B²

E, dopo l’urto:

E_Cf = (½) m v_A'² + (½) m v_B'²

Sostituendo nelle due precedenti equazioni, in analogia con la (3), i valori numerici dei quadrati delle velocità ed il valore noto di m, si ottiene:

E_Ci = 1250 J

E_Cf = 750 J