Un pendolo semplice

Un pendolo semplice

La conservazione dell’energia

Un pendolo semplice

La conservazione dell’energia

Un pendolo semplice di lunghezza l e massa m ha velocità v₀ quando la fune forma un angolo θ con la verticale. Determinare in funzione di g e delle sopracitate grandezze:

• L'energia meccanica totale del sistema
• La velocità v₁ della massa oscillante quando è nella sua posizione più bassa
• Il minimo valore v₀ che v₀ potrebbe avere se la fune deve raggiungere una posizione orizzontale durante il moto
• La velocità v₂ tale che per v₀ > v₂, il pendolo non oscilli ma continui a muoversi in cerchio verticale.

Energia meccanica totale

a) L'energia meccanica totale E è somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale U. Poiché sulla massa agisce la tensione T, che non compie lavoro perché è sempre diretta normalmente alla traiettoria, e la forza gravitazionale è di tipo conservativo, si ha anche E = K_o + U_o, cioè ci si può riferire alla posizione iniziale.

Ora K_o = ¹/₂ mv_o². Per quanto riguarda l’energia potenziale, nel riferimento xy scelto la forza peso è diretta come l’asse y, per cui si ha: U = _yo∫₀ mg dy + U(0). U(0) è l’energia potenziale per y = 0 che possiamo arbitrariamente porre nulla (ci riferiamo alle differenze di potenziale), per cui quando il pendolo forma un angolo θ si ha: U_o = -mg y_o = -mgl cosθ.

L’energia meccanica totale è dunque: E = K_o + U_o = ¹/₂ mv_o² - mgl cosθ.

Velocità nella posizione più bassa

Quindi l’energia totale resta costante per forze conservative: cioè K_o + U_o = K + U dove K = ¹/₂ mv₁² e U = –mgy.

Per cui nella posizione più bassa, y = l, si ha: ¹/₂ mv_o² - mgl cosθ = ¹/₂ mv₁² - mgl da cui v₁ = sqrt(v_o² + 2gl(1 - cosθ)).

Velocità minima per raggiungere la posizione orizzontale

c) Per raggiungere la porzione orizzontale durante il moto, il pendolo deve essere lanciato con velocità v₂ iniziale. Nella K₀ + V₀ = K + U si pone K₀ = ¹/₂ mv₂², V₀ = - mgl cosϑ₀; nella porzione orizzontale si ha U = 0 in quanto in tale porzione y = 0.

Si ha, se v è la velocità in tale porzione: K = ¹/₂ mv², per cui dalla conservazione dell'energia ¹/₂ mv₂² - mgl cosϑ₀ = ¹/₂ mv².

Siccome cerchiamo il minimo valore v₂ per cui il pendolo raggiunga la porzione orizzontale, possiamo pensare che raggiunga tale porzione con velocità nulla. Si ha allora ¹/₂ mv₂² - mgl cosϑ₀ = 0 da cui v = √2glcosϑ₀.

Moto in cerchio verticale

d) Perché il pendolo non oscilli, ma continui a muoversi su un cerchio verticale, siccome la massa è unita al punto di sospensione da una fune, deve essere sempre positiva la tensione.

Sapendo che la componente radiale della risultante di tensione e forza peso imprime al blocco l'accelerazione radiale v²/l, si ha: T - mg cosϑ = m v²/l.

Da K₀ + V₀ = K + U si ha ¹/₂ mv₂² - mgl cosϑ₀ = ¹/₂ mv² - mgl cosϑ, per cui mv² = mv₂² - 2 mg l (cosϑ₀ - cosϑ) da cui