Pendolo appeso in un automobile

Pendolo appeso in un’automobile

Oscillazioni

Un pendolo semplice di lunghezza l e massa m è appeso in un'automobile che viaggia con velocità costante v lungo una circonferenza di raggio R. Se il pendolo esegue piccole oscillazioni attorno alla sua posizione d'equilibrio, quale sarà la sua frequenza di oscillazione?

Consideriamo la forza centripeta come forza fittizia.

Si ha dalla figura che la posizione di equilibrio è data da T-mg cos θ₀ = m v²/R sen θ₀. Se v è la velocità con cui si muove l'automobile lungo il cerchio di raggio R all'equilibrio. Si ha T sen θ₀ = m(v²/R) ne deriva sen θ₀ = m v²/(Rmg cos θ₀ + mv² sen θ₀) cioè Rmg sen θ₀ cos θ₀ + mv² sen²θ₀ = mv² => => Rmg sen θ₀ cos θ₀ = mv² cos²θ₀.

Da cui tg θ₀ = v²/(gR) determina la posizione di equilibrio intorno alla quale si hanno le piccole oscillazioni del pendolo, quando venga spostato dalla sua posizione di equilibrio.

Allontanato il pendolo di un angolo θ = θ' - θ₀ dalla sua posizione di equilibrio, esso subirà una forza di richiamo tangenziale pari a F = -mg sen θ' + m v²/R cos θ' con θ' = θ₀ + θ per cui si ha F = -mg sen θ₀ cos θ - mg cos θ₀ sen θ + mv²/R cos θ cos θ₀ - mv²/R sen θ sen θ₀.

Ora per il fatto che sen θ₀ = mv² cos θ₀/(Rmg) si ha -mg sen θ₀ cos θ + mv²/R cos θ cos θ₀ = 0 da cui F = -mg sen θ cos θ₀ - mv²/R sen θ sen θ₀. Ora F = m l d²θ/dt² per cui si ha: