Pendolo semplice e pendolo fisico

Pendolo Semplice

È un sistema fisico che segue il modello dell'oscillatore armonico, poiché coinvolge una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio. Si tratta di un oggetto ideale composto da una massa m sospesa da un filo inestensibile di massa trascurabile.

Nella posizione di equilibrio il punto materiale è fermo e il filo è teso lungo la verticale. Se il punto è spostato dalla posizione di equilibrio esso comincia ad oscillare su un piano verticale sotto l'effetto della forza peso.

Il pendolo oscilla solo nel piano.

Il moto della particella avverrà lungo la circonferenza di raggio L centrato nel punto di sospensione.

Si usa quindi un riferimento cui due assi sono rispettivamente tangente e ortogonale alla circonferenza nel punto occupato dalla particella.

Componente tangenziale, costituisce la forza di richiamo che tende a far muovere la particella verso la sua posizione di equilibrio.

Componente radiale, fa risaltare l’accelerazione centripeta che le permette il moto lungo la circonferenza.

Equazioni:

• \[\hat{t} : mg \cos \theta - T = -m \left( \frac{v^2}{L} \right)\]
• \[\hat{l} : -mg \sin \theta = m a_t = m L \frac{d^2 \theta}{dt^2}\]

L'accelerazione angolare si deriva da seconda di \(\theta\).

PENDOLO SEMPLICE

È un sistema fisico che segue il modello dell'oscillatore armonico, poiché coinvolge una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio.

Si tratta di un oggetto ideale composto da una massa m sospesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile.

Nella posizione di equilibrio il punto materiale è fermo e il filo è teso lungo la verticale. Se il punto è spostato dalla posizione di equilibrio esso comincia ad oscillare su un piano verticale sotto l'effetto della forza peso.

Il pendolo oscilla solo nel piano.

Pendolo di massa m e lunghezza L in un istante in cui la corda forma l'angolo θ con la verticale.

Il moto della particella avverrà lungo la circonferenza di raggio L centrato nel punto di sospensione.

Si usa quindi un riferimento con due assi: uno rispettivamente tangente e ortogonale alla circonferenza nel punto occupato dalla particella.

Componente tangenziale: costituisce la forza di richiamo che tende a far muovere la particella verso la sua posizione di equilibrio.

Componente radiale: fa risalire alla particella l'accelerazione centripeta che le permette il moto lungo la circonferenza.

Equazioni:

• ζ: mg cos θ - T = -m [^v2⁄_L]
• ξ: -mg sin θ = m a_t = m L ^d2θ⁄_dt²

L'accelerazione angolare si ricava secondo ξ e θ.

Voglio conoscere Θ(t), cioè come varia Θ in funzione del tempo. Considero l'equazione f:

_mL¹_dt² + mg sin Θ = 0

⇒ d²Θ/dt² + g sin Θ = 0

Vistro che il pendolo compie piccole oscillazioni posso approssimare sinΘ ≃ Θ

⇒ _l^d2Θ_dt² + g/l Θ = 0 [Equazione del moto armonico]

La sua forma generale è: _p(x)^d2f_dt² + A p(x) = 0 → Θ(t)

Questa è un equazione diff del II ordine del moto armonico la soluzione è: Θ(t) = Θ_o cos(ωt + φ)

[ampiezza][pulsazione][fase iniziale]

Calcolo la derivata:

dΘ/dt = -Θ_o sin(ωt + φ) ω = Θ_o ω sin(ωt + φ)

Calcolo la derivata II

d²Θ/dt² = -Θ_oω cos(ωt + φ) ω = -Θ_oω²cos(ωt + φ)

Sostituendo nell'eq. _d²Θ^dt_dt² + g/l = 0 ovvio:

-Θ_oω²cos(ωt + φ) + g/l Θ_ocos(ωt + φ)

ω² = g/l => ω = √(g/l)

[↓ Pulsazione]

Moto Periodico

per definizione : ϑt = ϑ(t + Δt)

Per ogni istante t il valore della variabile ϑ(t) è lo stesso capo un periodo

ϑ_o cos (ω t + φ) = ϑ_o cos [ω (t + Δt) + φ]

⇒ ω(t + Δt) + φ - ωt - φ ⇒ ω Δt = 2π

Δt = _2π/^ω

T = 2π √_L/^g

⤷ Periodo (varia al variare di L)

f = ω/_2π ⤷ Frequenza

Le piccole oscillazioni sono isocron e hanno lo stesso tempo

Pendolo Fisico

Un pendolo fisico dato da un corpo rigido che oscilla intorno ad un asse fisso. L'unica forza da considerare è la forza peso.

Fp = mg

La forza che viene esercitata sul pendolo è la forza peso applicata al suo baricentro C. Chiamiamo d la distanza tra il punto O e il suo baricentro C.

Nella posizione di equilibrio la retta congiungente O e C è perfettamente verticale.

Per far oscillare il pendolo è necessario spostare tale retta in modo che si formi un angolo rispetto alla verticale.

La forza applicata in C esercita un momento torcente:

M = d × Fp

Con il sistema di riferimento scelto:

M = -Fp sin · d

M = -mg sin · d

Dalla legge fondamentale della dinamica rotazionale sappiamo che:

M = Iα

Scriviamo α come la derivata seconda dell'angolo

α = → M = I