Pendolo semplice e pendolo fisico

Pendolo semplice

È un sistema fisico che segue il modello dell'oscillatore armonico, poiché coinvolge una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio.

Si tratta di un oggetto ideale composto da una massa m sospesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile.

Nella posizione di equilibrio il punto materiale è fermo e il filo è teso lungo la verticale. Se il punto è spostato dalla posizione di equilibrio esso comincia ad oscillare su un piano verticale sotto l'effetto della forza peso.

Il pendolo oscilla solo nel piano.

Punto di sospensione.

L = Raggio.

Pendolo di massa m e lunghezza L in un istante in cui la corda forma l'angolo theta con la verticale.

Il moto della particella avverrà lungo la circonferenza di raggio L centrata nel punto di sospensione.

Si usa quindi un riferimento i cui due assi sono rispettivamente tangente e ortogonale alla circonf. nel punto occupato dalla particella.

Componente tangenziale costituisce la forza di richiamo che tende a far muovere la particella verso la sua posizione di equilibrio.

Componente radiale fornisce alla particella l'accelerazione centripeta che le permette il moto lungo la circonferenza.

Equazioni

mg cos theta - T = - m[v²/L]

-mg sin theta = ma_t = mL alpha = mL d²theta/dt²

L'acceler. angolare è la derivata seconda di theta.

Pendolo semplice

È un sistema fisico che segue il modello dell'oscillatore armonico, poiché coinvolge una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio.

Si tratta di un oggetto ideale composto da una massa m sospesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile.

Nella posizione di equilibrio il punto materiale è fermo e il filo è teso lungo la verticale. Se il punto è spostato dalla posizione di equilibrio esso comincia ad oscillare su un piano verticale sotto l'effetto della forza peso.

Il pendolo oscilla solo nel piano.

Punto di sospensione.

L = Raggio.

Pendolo di massa m e lunghezza L in un istante in cui la corda forma l'angolo θ con la verticale.

Il moto della particella avverrà lungo la circonferenza di raggio L centrata nel punto di sospensione.

Si usa quindi un riferimento i cui due assi sono rispettivi:

• Tangente e ortogonale alla circonf. nel punto occupato dalla particella.

Componente tangenziale costituisce la forza di richiamo che tende a far muovere la particella verso la sua posizione di equilibrio.

Componente radiale fornisce alla particella l'accelerazione centripeta che le permette il moto lungo la circonferenza.

Equazioni

̂ζ: mg cos θ - T = -m[L²]

̂t: -mg sin θ = ma_t = mL α = mL d²θ/dt²

L'acceler. angolare è la derivata seconda di θ.

Oscillazioni e moto armonico

Voglio conoscere 6(t), cioe come varia 6 in funzione del tempo. Considero l'equazione E:

1/L mL/m d²6/dt² + mg sin 6/mL = 0

=> d²6/dt² + g sin 6/L = 0

Visto che il pendolo compie piccole oscillazioni posso approssimare sin 6 ~ 6

=> d²6/dt² + g/L 6 = 0 Equazione del moto armonico.

La sua forma generale è: p(x) = d²p/dt² + A p(x) = 0

Questa è un eq. diff. del II ordine del moto armonico. La soluzione è: 6(t) = 6₀ cos(wt + p)

Ampiezza pulsazione fase iniziale.

Calcolo la derivata:

d6/dt = - 6₀ sin(wt + p) . w = 6₀ w sin(wt + p)

Calcolo la derivata II

d²6/dt² = - 6₀ w cos(wt + p) w = - 6₀ w² cos(wt + p)

Sostituendo nell'eq: d²6/dt² + g/L 6 = 0 avrò:

- 6₀ w² cos(wt + p) + g/L 6₀ cos(wt + p)

w² = g/L => w = sqrt(g/L)

Pulsazione.

Moto periodico

Per definizione: Θt = Θ(t + Δt)

Per ogni istante t il valore della variabile Θ(t) è lo stesso dopo un periodo.

Θo cos(ωt + φ) = Θo cos[ω(t + Δt) + φ]

=> ω(t + Δt) + φ - ωt - φ => ωΔt = 2π

Δt = 2π/ω

T = 2π √(L/g)

Periodo (varia al variare di L).

f = ω/2π -> frequenza.

Le piccole oscillazioni sono isocone -> hanno lo stesso tempo.

Pendolo fisico

Un pendolo fisico dato da un corpo rigido che oscilla intorno ad un asse fisso. L'unica forza da considerare è la forza peso Fp = mg.

La forza che viene esercitata sul pendolo è la forza peso applicata al suo baricentro C. Chiamiamo d la distanza tra il punto O e il suo baricentro O. Nella posizione di equilibrio la retta congiungente O e C è perfettamente verticale.

Per far oscillare il pendolo è necessario spostare tale retta in modo che si formi un angolo θ rispetto alla verticale.

La forza applicata in C esercita un momento torcente:

M = d x Fp

Con il sistema di riferimento scelto:

M = -Fp sin θ d

M = - mg sin θ d

Dalla legge fondamentale della dinamica rotazionale sappiamo che:

M = I α

Scriviamo α come la derivata seconda dell'angolo θ

α = d²θ/dt² → M = I d²θ/dt²