Un lingotto quasi di oro puro

Un lingotto quasi di oro puro

Meccanica dei fluidi

Un lingotto quasi di oro puro

Meccanica dei fluidi

Con una bilancia a bracci viene determinato il peso Π di un lingotto costituito da una lega d’oro e rame puri, si ottiene: Π = (5,000 ± 0,001) KgP.

Si esegue poi la misura tenendo il lingotto completamente immerso in acqua distillata (peso specifico P₀ = 1 gP/cm³) e si trova: Π’ = (4,720 ± 0,001) KgP.

Il peso specifico dell’oro è: P_Au = 19,30 gP/cm³ e quello del rame P_Cu = 8,96 gP/cm³. Stabilire, in base a questi dati, la composizione percentuale della lega. Se il lingotto fosse stato di oro puro, quale sarebbe stata la misura di Π’?

Indicato con V₁ il volume dell’oro presente nella lega e con V₂ quello del rame, deve essere verificata la seguente relazione tra i pesi:

Π = P_Au V₁ + P_Cu V₂              (1)

La differenza di peso rilevata dalla bilancia idrostatica ΔΠ = Π – Π’ = 0,280 KgP è proprio la spinta di Archimede che, se indichiamo con V il volume dell’intero lingotto e con P₀ il peso specifico dell’acqua, è espressa da:

ΔΠ = P₀ V              (2)

Inoltre deve ovviamente essere valida la relazione tra i volumi:

V = V₁ + V₂              (3)

Dopo aver ricavato il valore di V dalla (2) ed averlo sostituito nella (3), mettendo insieme le equazioni (1) e (3), otteniamo il sistema lineare nelle incognite V₁ e V₂:

   P_AuV₁ + P_CuV₂ = Π    V₁ + V₂ = ΔΠ / P₀

che, risolto per sostituzione, fornisce, dopo qualche passaggio algebrico, il seguente risultato:

      V₁ = (Π – P_Cu/P₀ΔΠ) / (P_Au – P_Cu)       V₂ = ΔΠ / P₀ – V₁