Un equilibrio precario

Un equilibrio precario

Le forze fisica esercizi

Un equilibrio precario

Consideriamo la situazione rappresentata in Figura 2.10.1. Due piani inclinati, senza attrito, entrambi di altezza h ed inclinazione θ, sono l’uno di fronte all’altro alla distanza 2d. Su di essi sono disposti, ad altezza h' dal terreno, due blocchi, ciascuno di massa M, ai quali è fissata una cordicella leggera di lunghezza^(o) l₀ = 2(h/senθ + d) che scorre attraverso due pulegge A e B, di massa trascurabile. Nel punto P, che si trova ad uguale distanza dai due piani inclinati ad altezza h₀ dal suolo, è attaccata una massa m e tutto il sistema è in equilibrio statico. Determinare le misure di h₀ ed h' e discutere i risultati considerando note, e quindi fisse, le grandezze θ ed h e come parametri le masse e la distanza d.

^(o) Dalla trigonometria è noto che h/senθ rappresenta la lunghezza di ciascuno dei due piani inclinati.

(Figura 2.10.1)

Indicati con φ i due angoli uguali (per simmetria) di vertice P formati dalla cordicella con l’asse orizzontale, e tenuto conto che per ipotesi il sistema è in equilibrio, valgono le seguenti equazioni scalari:

M g senθ – T = 0
2 T senφ – m g = 0

La (1) vale per ciascuna delle masse M ed indica semplicemente che la componente del peso M g lungo il piano inclinato (M g senθ) deve bilanciare la tensione T. Per comprendere invece il significato della (2) esaminiamo le forze che agiscono sulla massa m (vedi figura 2.10.2). Esse sono soltanto tre: le due tensioni di uguale modulo T inclinate di φ rispetto all’orizzontale ed il peso m g disposto verticalmente verso il basso. Scomponendo le due T in T_x = T cosφ e T_y = T senφ, osserviamo che le componenti verticali si sommano, avendo il medesimo verso, mentre quelle orizzontali, di verso opposto, si elidono. Pertanto, adoperando la solita convenzione sui segni e ricordando che il sistema è in equilibrio statico, deve essere 2T_y – m g = 0 che esprime appunto la (2).

Dall’equazione (1) possiamo ricavare subito il valore di T, cioè: T = M g senθ che sostituito nella (2) ci consente di dedurre:

sen φ = ^m/_{2 M sen θ}

(Figura 2.10.2)

Ponendo ora m/(2M) = μ scriviamo in forma più semplice:

sen φ = _μ/_{sen θ} (3)

Determinazione di h₀

Determiniamo adesso la misura di h₀. È facile rendersi conto che essa dipende da φ. Infatti dal triangolo PHA = PH'B (Figura 2.10.1) si deduce:

tg φ = _{h - h0}/_d (4)

Dalla trigonometria sappiamo che tg φ = sen φ/cos φ e cos φ = √1 - sen²φ dunque:

tg φ = _{sen φ}/_{√1 - sen² φ} (5)

Sostituendo nella (5) il valore di senφ espresso dalla (3) e ricordando la (4), si ottiene:

_h-h0 ⁄ _d = _μ ⁄ _{sen θ}√_{1-μ² ⁄ sen²θ}

che con qualche passaggio algebrico si riduce a:

_h-h0 ⁄ _d = _μ ⁄ √_sen²θ-μ² (6)

Dalla (6) si può finalmente ricavare h₀:

h₀ = h - _{μ d} ⁄ √_sen²θ-μ² (7)

Calcolo di h'

Per calcolare h', rileviamo anzitutto che la lunghezza della cordicella misurata dal punto P a ciascuno dei due corpi deve essere costante e di lunghezza metà del totale, vale a dire (1/2)l₀ = (h/senθ) + d. Consideriamo il triangolo PHA e da esso otteniamo PA = (h – h₀)/senφ. Dunque sul piano inclinato si dovrà trovare la parte di cordicella rimanente l' deducibile per differenza:

l' = (½) l₀ – AP

Sostituendo per l₀ ed AP le relative espressioni si giunge a:

l' = ^h/_senθ + d – ^{h – h₀}/_senφ (8)

l' è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateto uguale ad (h – h') al quale sta opposto l'angolo acuto θ; pertanto l' = (h – h')/senθ. Dalla (8) ricordando che:

senφ = ^μ/_senθ e h₀ = h – ^{μ d}/_{√sen²θ – μ²}