Due sfere in equilibrio precario

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Lavoro ed energia fisica esercizi

Due sfere in equilibrio precario

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Due sfere uguali di massa m e raggio R = 1 m, sono appoggiate l’una sopra l’altra su di un piano orizzontale ed a contatto con una parete verticale (Figura. 4.10a). Tutte le superfici sono senza attrito. Immaginiamo che l’equilibrio del sistema (per altro decisamente instabile) venga meno e che la sfera superiore cominci a cadere per effetto della gravità spingendo verso destra la sfera sottostante (Figura. 4.10b). Calcolare l’angolo θ_S per il quale le sfere si staccano l’una dall’altra e le loro velocità v_x e v_y al momento del distacco. Determinare infine la velocità finale v_F della sfera superiore quando tocca il suolo confrontandola con quella che essa avrebbe avuto se fosse caduta liberamente dall’altezza 2R.

(Figura 4.10.a)

(Figura 4.10.b)

Impostazione del sistema di riferimento

Fissato il sistema di riferimento cartesiano xOy con l’origine nella posizione iniziale del centro di massa della sfera inferiore e, detta y₀ = 2R l’ordinata del centro di massa A dell’altra sfera (Figura. 4.10a), osserviamo che, quando cessa l’equilibrio, i centri delle due sfere si spostano, l’uno orizzontalmente con ordinata sempre nulla, l’altro verticalmente con ascissa sempre nulla.

Inoltre finché le sfere sono a contatto, il segmento AO = A’O’ = 2R scivola, per così dire, sugli assi cartesiani descrivendo con l’orizzontale l’angolo θ in modo che il suo punto medio coincida sempre con il punto di tangenza delle due sfere. In ogni istante valgono dunque le seguenti equazioni:

{ x = 2R cosθ y = 2R senθ}                               (1)

Essendo x l’ascissa variabile di O’ ed y l’ordinata generica di A’. Si osservi inoltre che le (1) non esprimono soltanto una relazione geometrica, ma anche, al variare del tempo, un vincolo fisico cioè il contatto tra le due sfere durante il moto.

Velocità e accelerazione

In base a queste considerazioni, derivando le (1) rispetto al tempo t, dopo aver ricordato che anche θ è funzione di t, possiamo ottenere le velocità dei centri di massa O’ ed A’. Le equazioni sono le seguenti:

Velocità di O’ ẋ = -2 R θ̇ senθ                               (2)

Velocità di A’ ẏ = 2 R θ̇ cosθ                                (3)

Derivando ancora la (2) rispetto a t deduciamo anche l’accelerazione di O’:

ẍ = -2 R (θ̇)² cosθ − 2 R θ̈ senθẍ = −2 R (θ̇)² cosθ − 2 R θ̈ senθ (4)

Poiché la (4) esprime di fatto l’accelerazione della sfera inferiore, possiamo affermare che, alla cessazione del contatto tra le due sfere, deve verificarsi la condizione: ẍ = 0. Questo perché la sfera che si muove sull’asse orizzontale, non più soggetta a forze esterne (il suo peso è bilanciato dalla reazione del piano), si muove di moto rettilineo uniforme. Dunque, al momento del distacco, vale l’equazione:

−2 R (θ̇)² cosθ − 2 R θ̈ senθ = 0        (5)

Conservazione dell’energia

Purtroppo, se vogliamo determinare l’angolo θ_s, dalla (5), ci servono i valori (espressi in funzione di θ) delle grandezze fisiche ẋ (velocità angolare) e ÿ (accelerazione angolare). Possiamo risolvere la questione con l’aiuto del principio di conservazione dell’energia, osservando che, nella fase iniziale, il sistema possiede soltanto l’energia potenziale 2 m g R, mentre al momento del distacco, il punto materiale O’ ha solo energia cinetica (½) m ẋ² ed il punto A’ possiede sia l’energia cinetica (½) m ẏ² sia quella potenziale m g y. Queste considerazioni ci consentono di scrivere l’equazione:

2 m g R = (½) m (ẋ)² + (½) m (ẏ)² + m g y

Dividendo ambo i membri per m, ricordando la (2), la (3) e la seconda delle (1), possiamo esprimere la (6) nella forma seguente:

4 g R = 4 R (ẋ)² sen²θ + 4 R (ẋ)² cos²θ + 4 g R sen θ

Con qualche semplificazione e ricordando che (cos²θ + sen²θ) = 1, otteniamo finalmente:

(ẋ)² = ^{g (1 - sen θ)}/_R

Ed ora possiamo ricavare anche ̈ derivando la (7) rispetto al tempo. Otteniamo:

2 ̇ ̈ = -₍^{g ̇ cos}/_R⁾

Ed essendo ̇ ≠ 0 possiamo semplificare deducendo così:

̈ = -₍^{g cos}/_2R⁾ (8)

Angolo di distacco e velocità

Non resta ora che sostituire i risultati della (7) e della (8) nell’equazione (5) e cambiare in _s ottenendo in tal modo:

-^{g cos _s (1 - sen _s)}/_R + ^{g cos _s sen _s}/_2R = 0

Con qualche passaggio e semplificazione l’equazione precedente assume la forma:

cos _s (3 sen _s - 2) = 0

Le soluzioni sono quindi le seguenti:

• Cosθ_s = 0      θ_s = 90°
• Senθ_s = 2/3      θ_s ≅ 41°,8

La prima esprime semplicemente l’equilibrio iniziale del sistema, la seconda invece è quella che ci interessa perché fornisce l’angolo di “stacco”.

Sostituendo θ_s nelle equazioni (2) e (3) dopo aver ricordato la (7), possiamo infine ricavare i moduli delle velocità richieste v_x e v_y:

v_x = 2 R senθ_s √g(1−senθ_s)⁄_R

v_y = 2 R cosθ_s √g(1−senθ_s)⁄_R

Dalle quali è facile ottenere i risultati numerici:

v_x ≅ 2,4 m/s

v_y ≅ 2,7 m/s