Un'asta in equilibrio precario

Un’asta in equilibrio precario

Statica

Un’asta in equilibrio precario

Statica

Un’asta omogenea di lunghezza ℓ e massa m = 10 Kg è appoggiata con l’estremo A ad una parete verticale scabra e con l’altro estremo B al pavimento anch’esso scabro (Figura 8.4). Sapendo che l’inclinazione θ = 30° dell’asta rispetto al pavimento rappresenta l’angolo minimo al di sotto del quale essa non è più in equilibrio ed inizia a scivolare verso il basso, calcolare il coefficiente di attrito statico μ_s nell’ipotesi che esso sia il medesimo per la parete e per il pavimento. Determinare altresì modulo, direzione e verso delle forze vincolari nei punti A e B. Si esprimano i moduli delle forze in KgP.

Dopo aver indicato con f_A (rivolta verso l’alto) la forza di attrito sulla parete, con N_A la forza normale ad essa nel punto A, con f_B (rivolta verso sinistra) la forza di attrito sul pavimento, con N_B la forza normale ad esso nel punto B e detto m g il peso dell’asta (rivolto verso il basso) applicato nel centro di gravità G (vedi Figura 8.4), possiamo scrivere le equazioni scalari che definiscono l’equilibrio delle forze agenti sulla sbarra:

Forze orizzontali

N_A – f_B = 0

N_B + f_A – m g = 0

I segni delle forze sono convenzionalmente riferiti al sistema cartesiano xOy avente il centro nel punto di contatto tra la parete ed il pavimento rappresentati in sezione piana dalla Figura 8.4. Per scrivere ora l’equazione di equilibrio dei momenti, scegliamo come centro di rotazione il punto A. Questa scelta implica che i momenti delle forze f_A ed N_A risultano identicamente nulli. Pertanto, utilizzando la conoscenza dell’angolo θ e la solita convenzione sui segni, possiamo scrivere:

ℓ N_B cosθ – ℓ f_B senθ – (ℓ/2) m g cosθ = 0

Da cui è possibile eliminare il fattore comune ℓ. Per completare il sistema di equazioni, ricordando che parete e pavimento hanno lo stesso coefficiente di attrito, aggiungiamo quelle che definiscono le massime forze di attrito statico nei punti A e B:

f_A = μ_s N_A

f_B = μ_s N_B

Sostituendo i valori delle forze di attrito f_A ed f_B espressi dalle equazioni (4) e (5) nelle tre precedenti (1), (2) e (3), otteniamo il seguente sistema:

N_A – μ_s N_B = 0

μ_s N_A + N_B – m g = 0

N_B cosθ – μ_s N_B senθ – (1/2) m g cosθ = 0

Combinando la (6) con la (7) si trova l’equazione:

μ_s² N_B + N_B – m g = 0

Dalla quale possiamo ricavare N_B:

N_B = ^mg/_1+μs² (9)

Combinando la (9) con la (8), è possibile ottenere un’equazione di 2° grado nell’unica incognita μ_s:

^{mg cosθ}/_1+μs² μ_s ^{mg senθ}/_1+μs² - ¹/₂ mg cosθ = 0

Semplificando ed ordinando i termini, dopo qualche passaggio algebrico, si ottiene:

(cosθ) μ_s² + (2 senθ) μ_s - cosθ = 0

(10)

Risolviamo la (10) eliminando la soluzione negativa che non ha significato fisico e ricordando nei calcoli che (cos²θ + sen²θ) = 1; si trova così il desiderato valore di μ_s:

μ_s = ^{1 - senθ}/_cosθ

Essendo θ = 30° si ricavava facilmente μ_s = 1/√3.

Per determinare le forze vincolari, che indicheremo con F_A ed F_B, rispettivamente applicate nei punti A e B, basta osservare che la prima è la risultante delle forze f_A ed N_A, mentre la seconda è la risultante di f_B ed N_B. Pertanto, poiché le due citate coppie di forze sono tra loro perpendicolari, i moduli di F_A ed F_B, per il teorema di Pitagora, sono rispettivamente:

F_A = √N_A² + f_A² = √N_A² + μ_s² N_A² = N_A √1 + μ_s²

F_B = √N_B² + f_B² = √N_B² + μ_s² N_B² = N_B √1 + μ_s²

Ricordando che N_B è espresso dalla (9) e che N_A si può dedurre dalla (6) vale a dire:

N_A = ^{μ_s mg}/_1+μs² (11)

Otteniamo in definitiva:

F_A = ^{μ_s mg √1 + μ_s2}/_1+μs²