Un blocco su un tavolo contro la parete

Un blocco su un tavolo contro la parete

Urto

Un blocco su un tavolo contro la parete

Urto elastico tra blocchi

Un blocco di massa m₁=100 Kg è in quiete su un lungo tavolo orizzontale senza attrito che termina contro una parete. Un secondo blocco di massa m₂ è posto tra il primo blocco e la parete e viene posto in moto verso sinistra con velocità costante v₂, come in figura.

Supponendo che tutte le collisioni siano perfettamente elastiche, calcolare il valore di m₂ per il quale entrambi i blocchi si muovono con la stessa velocità, dopo che m₂ ha urtato una volta con m₁ e una volta con la parete.

Si tratta di urti elastici che avvengono in una dimensione. Quando due masse M₁ e M₂ generiche, la prima con velocità iniziale u_1i e la seconda con velocità iniziale u_2i, si scontrano con un urto elastico in una dimensione, se u_1f e u_2f sono le rispettive velocità finali dei due blocchi, si ha dalla conservazione della quantità di moto, poiché non intervengono forze esterne:

M₁u_1i + M₂u_2i = M₁u_1f + M₂u_2f

che si riscrive:

M₁(u_1i - u_1f) = M₂(u_2f - u_2i) (*) (vedere nota)

D'altra parte, v_2i deve avere componente negativa secondo la direzione del moto. Da quanto detto nella nota ne deriva che è necessario che sia m₂ < m₁.

Urto del blocco con la parete

Dopo l'urto con il blocco m₁, il blocco m₂ urta la parete.

Sfruttiamo ancora le equazioni (∗) trovate nel caso più generale possibile.

Sono ora M₁=m₂, M₂=m₃=∞ massa della parete.

Ovviamente la parete è ferma, u_e1f=0 in quanto la superficie è supposta priva di attrito e quindi il blocco m₂ dopo l'urto con m₁ conserva la sua velocità fino all'urto con la parete.

Si ha dunque, se W_1f e W_2f sono le velocità finali del blocco e della parete:

W_1f=(m₂-m₃)/(m₂+m₃)v_2f

W_2f=(2m₂)/(m₂+m₃)v_2f

Poiché la parete ha massa m₃ infinita, è ovviamente:

W_1f=lim_m3→∞(m₂-m₁)/(m₂+m₃)v_2f=-v_2f

W_2f=lim_m3→∞2m₂v_2f=0

m₁+m₃

Cioè la parete resta ferma, come era da attendersi, mentre il blocco m₂ rimbalza con la stessa velocità con cui ha urtato.

Calcolo della massa m₂

Si ha W_1f=v_2f =m₂-m₁. Si vede che, al termine di tutti gli urti, i due blocchi si muovano con la stessa velocità cioè che sia v_1f=W_1f.

È necessario quindi che sia 2m₂ =m₁=m₂

m₁+m₂=-v_2i

m₁+m₂m₁+m₂

e quindi m₂ = m₁/3 = 100/3 = 33,3 Kg