Teoria dei segnali - Esercizi vari

Prova scritta di teoria dei segnali del 22 maggio 2006

Tempo: 2 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

Determinare analiticamente e tracciare il grafico della funzione densità di probabilità della variabile aleatoria

Y =
2X + 1 se X ≥ −1,
−X se X < −1,

dove X è una variabile aleatoria gaussiana con media e varianza unitarie. Si valuti, inoltre, la probabilità P(0 < Y ≤ 1).

Esercizio 2

Si consideri il segnale

x(t) = ∑_k=−∞^∞ (−1)^k rect((t − kT)/T₀),

con 0 < T₀ < T. Valutare, in corrispondenza del segnale x(t), il segnale y(t) in uscita ad un filtro passa basso ideale caratterizzato da un guadagno unitario e da banda monolatera B = 1/T.

Determinare, inoltre, potenza e densità spettrale di potenza del segnale y(t) in uscita al filtro.

Esercizio 3

Trovare il periodo, la trasformata di Fourier e lo sviluppo in serie discreta di Fourier della sequenza

x[n] = ∑_k=−∞^∞ j^k R[n − k8].

Valutare, inoltre, in corrispondenza del segnale x[n], il segnale y[n] in uscita al filtro con risposta in frequenza

H(ν) = ∑_k=−∞^∞ rect(8(ν − k)).