Teoria dei segnali - Esercizi vari

Prova scritta di Teoria dei segnali del 18 dicembre 2006

Tempo: 2 ore e 30 minuti. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

Con riferimento allo schema di figura il segnale in ingresso è pari a

∞Xx(t) = Λ(t − n2T )u(t − n2T )n=−∞ 1

mentre i sistemi LTI S ed S sono caratterizzati da risposta impulsiva h (t) = δ t − e1 2 1 2T th (t) = sinc cos(2π A t).2 B

• Valutare le proprietà di causalità, istantaneità e stabilità dei sistemi S, S e del sistema 1 2 complessivo;
• Valutare in corrispondenza del segnale in ingresso x(t) l’espressione del segnale in uscita y(t).

x(t) y(t) - - - ⊕ h (t)26h (t)1

Esercizio 2

Si è rilevato che il tempo di vita della popolazione dei cinque continenti può essere modellato come una variabile aleatoria (v.a.) X caratterizzata da una distribuzione di probabilità esponenziale del tipo:

1 xf (x) = e u(x)− TX T

con T=50 anni per la popolazione africana, T=80 per quella asiatica, T=60 per quella dell’Oceania, T=75 e T=70 per la popolazione europea e per quella americana.

• Valutare in quale continente la popolazione vive mediamente di meno.
• Stabilire quanto vive mediamente la popolazione mondiale.
• Osservato che la popolazione di uno dei continenti vive tra 60 e 90 anni, stabilire qual è il continente in cui con maggior probabilità può verificarsi ciò.

Esercizio 3

nLa sequenza periodica x[n] = rep [(−1) R [n + 1]] è posta in ingresso ai sistemi S ed S la cui 6 1 28 uscita è pari a y [n] = x[n]x[n − 8] e y [n] = x[n] − x[n − 8], rispettivamente.1 21

• Calcolare l’area, il valor medio, la potenza e l’energia del segnale x[n];
• Valutare lo sviluppo in serie discreta di Fourier e la trasformata di Fourier del segnale x[n];
• Stabilire se il segnale y[n] in uscita ai sistemi S e S è ancora periodico ed in caso affermativo 1 2 valutarne il periodo e lo sviluppo in serie discreta di Fourier.