Teoria dei Segnali - Esercizi risolti

Prova scritta di teoria dei segnali del 02.07.2007 (soluzione)

Esercizio 1 (10 punti)

x(t) = x (t) + x (t) x (t) = cos(2πf t)Il segnale di ingresso è la somma dei due segnali sinusoidali e1 2 1 0x (t) = cos(4πf t). Invocando il principio di sovrapposizione degli effetti e ricordando le relazioni i-u per2 0 y(t) = y (t) + y (t)le sinusoidi dei sistemi LTI reali, l’uscita del sistema sarà data dalla somma dei due1 2|H(f |H(2fy (t) = )| cos[2πf t + )] y (t) = )| cos[4πf t + )].∠H(f ∠H(2fsegnali e La potenza del1 0 0 0 2 0 0 0P 2|H(fy (t) f = )| /2 y (t)segnale sinusoidale a frequenza è data da e la potenza del segnale sinusoidale1 0 y 0 21P 2|H(2f2f = )| /2. fa frequenza è pari a La condizione da imporre per determinare è la seguente:0 y 0 32 2 f01+P √1fy 32 −3 ⇒ ≈ ⇒ ≈=10 log f 2 f .3 0P10 2 2 2fy 01 1+ f3

Esercizio 2 (10 punti)

x(n) = x (n) + x (n) x (n) = 1(a) L’ingresso è la somma di un segnale costante e di un segnale sinusoidale1 2 114π n = cos 2π nx (n) = cos . Invocando il principio di sovrapposizione degli effetti e ricordando le2 2 y(n) = y (n) + y (n)relazioni i-u per le costanti e le sinusoidi dei sistemi LTI reali, l’uscita del sistema 1 21 π 1 · |H(y (n) = H(0) 1 y (n) = )| cos n + )∠H(sarà data dalla somma dei due segnali e . Affinché1 2 4 2 4y(n) = 1risulti dev’essere 1 ) = 0 .H(0) = 1 H(e 4 −j2πν −j4πν− −h(n) = a δ(n) + a δ(n 1) + a δ(n 2) H(ν) = a + a e + a ePoiché si ha , per cui1 2 3 1 2 31 − −H(0) = a + a + a = 1 H( ) = a ja a = 0 .e1 2 3 1 2 34

Uguagliando a zero la parte reale e immaginaria della seconda condizione, e sfruttando l’ipotesi che i−a a = 0 a = 0.coefficienti siano si ha e In definitiva si ottiene un sistema di tre equazioni in trereali, 1 3 2incognite:  a + a + a = 11 2 3 −a a = 01 3a = 0 212 1a = a = 0, a =la cui unica soluzione è , .1 2 3 2 1H(ν) a =(b) Particolarizzando la già calcolata simbolicamente nello svolgimento del punto (a) al caso ,1 21a = 0, a = , si ha2 3 2 −j4πν −j2πν −j2πν −j2πν12 1 j2πν &minu