Teoria dei segnali - Esercizi

Prova scritta di Teoria dei segnali del 10 febbraio 2012

Tempo: 1 ora. Non è consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Quesito 1

Interpolazione a mantenimento e interpolazione cardinale (6). Trasformata della funzione 1/t e teorema di integrazione completo (7). Periodicizzazione e formule di somma di Poisson (8). Caratterizzazione dei sistemi lineari e stazionari (9). Distorsioni introdotte dai filtri (0). Densità spettrale di energia (1). Funzione di autocorrelazione (2). Densità spettrale di potenza dei segnali periodici (3). Caratterizzazione dei sistemi non lineari (4). La condizione di Nyquist e il teorema del campionamento (5).

Quesito 2 (6 CFU)

Funzioni distribuzione e densità di probabilità di una variabile aleatoria (6). Indici caratteristici di una distribuzione (7). La variabile aleatoria gaussiana (8). Sviluppo in serie di Fourier in forma reale polare, rettangolare e complessa (9). Interpolazione a mantenimento e interpolazione cardinale (0). Trasformata della funzione 1/t e teorema di integrazione completo (1). Periodicizzazione e formule di somma di Poisson (2). Caratterizzazione e analisi dei sistemi lineari e stazionari (3). Criterio di Paley-Wiener e distorsioni introdotte dai filtri (4). Densità spettrale di energia e teorema di Parseval (5).

Quesito 2 (9 CFU)

Sistemi di due variabili aleatorie, funzioni distribuzione e densità di probabilità condizionate (6). Trasformazione di una coppia di variabili aleatorie (7). Correlazione e covarianza (8). Sistemi di n variabili aleatorie, variabili aleatorie congiuntamente gaussiane (9). Caratterizzazione statistica di un processo aleatorio continuo (0). Indici statistici del 1° e del 2° ordine di un processo aleatorio a tempo continuo (1). Stazionarietà dei processi aleatori (2). Filtraggio di un processo aleatorio a tempo continuo e relazione ingresso-uscita tra le statistiche semplificate (3). Filtraggio di un processo aleatorio stazionario in senso lato e relazione ingresso-uscita tra le statistiche semplificate (4). Processi aleatori gaussiani (5).

Quesito 3

Caratterizzazione dei sistemi non lineari (6). La condizione di Nyquist e il teorema del campionamento (7). Interpolazione a mantenimento e interpolazione cardinale (8). Trasformata della funzione 1/t e teorema di integrazione completo (9). Periodicizzazione e formule di somma di Poisson (0). Caratterizzazione dei sistemi lineari e stazionari (1). Distorsioni introdotte dai filtri (2). Densità spettrale di energia (3). Analisi di Fourier delle sequenze periodiche e periodicizzazione di una sequenza aperiodica (4). Funzione di autocorrelazione (5).

Tempo: 1 ora. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

Valutare e disegnare la funzione di autocorrelazione del segnale x(t) = -rect ( t-T/8) / T/4 ) + 2rect ( t-T/8 ) / T/4 ).

Esercizio 2 (6 CFU)

Determinare la funzione densità di probabilità della variabile aleatoria Z = 4rect (X + 10) - X²_u (X - 10) dove X è una variabile gaussiana a media nulla e varianza unitaria.

Esercizio 2 (9 CFU)

Il processo aleatorio y(t) è ottenuto ponendo in ingresso ad un filtro con risposta all’impulso h(t) = -rect ( t-T/8) / T/4 ) + 2rect ( t-T/8 ) / T/4 ) il processo gaussiano bianco x(t) con media nulla e densità spettrale di potenza N₀/2. Valutare la funzione densità di probabilità della variabile aleatoria Z = y(t₀) - 2y(t₀ + T/4).

Esercizio 3

Valutare lo sviluppo in serie discreta di Fourier della sequenza periodica x[n] = ∑_{k = -∞}^∞ (-1)^kp[n - 5k] dove p[n] = u[n] - u[n - 5], con u[n] gradino unitario a tempo discreto.