Studio di Funzione con parametri da determinare

Analisi matematica

Studi di funzioni

Esercizi svolti verso l'esame

Trova per quali valori dei parametri a e b la curva di equazione y = ^{x2 + ax + 1}/_{x + b} ha per asintoti le rette di equazioni x = 3 e y = x. Rappresenta la funzione y = f(x) ottenuta. Utilizzando il grafico precedente, rappresenta il grafico di y = 1/f(x).

Analisi matematica

Studi di funzioni

Esercizi svolti verso l'esame - Risolvere problemi

Trova per quali valori dei parametri a e b la curva di equazione y = ^{x² + ax + 1}/_{x + b} ha per asintoti le rette di equazioni x = 3 e y = x. Rappresenta la funzione y = f(x) ottenuta. Utilizzando il grafico precedente, rappresenta il grafico di y = ¹/_f(x).

y = ^{x2 + ax + 1}/_{x + b} per quei valori di "a" e "b" per avere asintoti:

• Asintoti: y = x e x = 3

x = 3 è asintoto verticale:

lim f(x) = ∞; x -> 3

^{x + b}/_{x + b} -> 0, 9 + 3a + 1 = ∞, 3 + b ⇒ 0     b = -3

y = x è asintoto obliquo -> y = mx + q, m = 1      q = 0

m = lim ^{2x + a}/_{x ⇒∞} = 1

Lim_f ^{x2 + ax + 1}/_{x² + 3x} = ¹/_x x ⇒∞

lim_{(x ⇒∞)} ^{x2 + ax + 1}/_{x² + 3x} = 1

L'equazione tra termini dello stesso ordine converge a m = 1, q = 0 ⇒ lim ^{(f(x) - mx)}/_{x ⇒∞} = 0

lim_{x ⇒∞} ^{x2 + ax + 1}/_{x - 1} = 0, ^{a + 3}/_{x +} -⇒ 0, x -> ∞

x -> 3 = 0, a = -3

f(x) = x² - 3x + 1 ------- x - 3

La funzione è definita in R - {3}

Studiamone il segno e gli zeri

f(x) > 0

x² - 3x + 1/x - 3 > 0

r ≥ 0

x² - 3x + 1 ≥ 0 Δ = 9 - 4 = 5

x = -3 ± √5

f(x) > 0 per 0 < x < 3 - √5 e x > 3 + √5

f(x) - + - +(x) F.A

Gli zeri: x = 3 ± √5

Intersezione con l'asse delle ordinate:

• | y - x² - 3x + 1 | x - 3 => | x = 0 => | y = -1 |
• 3 | | x = 0 => A (0,-1) | 3
• (x) Interseca il semiasse negativo delle ordinate.

Derivata prima

f(x) = (x² - 3x + 1) / (x - 3)

f'(x) = [(2x - 3)(x - 3) - (x² - 3x + 1)(1)] / (x - 3)²

f'(x) = (2x² - 6x + x² - 3x - 1) / (x - 3)²

f'(x) = (x² - 6x + 8) / (x - 3)²

Zeri e segno di f'(x)

(x² - 6x + 8) / (x - 3)² > 0

((x - 2)(x - 4)) / (x - 3)² > 0

x = 2 punto di max relativo

x = 4 punto di min relativo

Derivata seconda

f''(x) = (x² - 6x + 8) / (x - 3)²

f''(x) = [(2x - 1)(x - 3)² - (x² - 6x + 8)] / (x - 3)³

y ¹ = 2(x-3)²(x-3) = x² + 6x - 8

(x-3)³ = 2(x²)² - x² + 6x - 8

(x-3)³ = 2x² - 12x + 18 - x² + 6x - 8

(x-3)³ = x² - 6x + 10

Segno e zeri di f¹(x)

x² - 6x + 10(x-3)³ ≥ 0

x² - 6x + 10 = 0

Δ = 36 - 40 ≤ 0

∧ x₁, x₂ : f¹(x) = 0

Non ci sono punti di flesso.

Grafico

• A (0; 1₃)
• B (3-√₅; 0)
• C (3 + √₅; 0)

Rappresenta il grafico di ¹/_f(x)

f(x) = ^(x-3)/_x²-3x+1

x² - 3x + 1 = 0 in ^{3 ± √5}/₂

In prossimità due rami

¹/_f(x) = ¹/₀ f(x) < 0   f(x) > 0 x < 10   x < 100⁺   0^-

→   x = ^{3 ± √5}/₂ sono 2 asintoti verticali

Quando   f(x) → +∞ → ¹/_f(x) → 0⁺   y = 0

f(x) → -∞ → ¹/_f(x) → 0^-   A.oriz

f(2) = k → ¹/_(k) → 1 → le 2 funzioni hanno la stessa immagine

¹/_(x-1) + ¹/₅ = -3