Statistica - Prova Scritta Esame 01/04/2009 - Probabilità e Variabili Aleatorie

Statistica (M-Z) modulo 2 (probabilità e variabili aleatorie)

Prova scritta 1-4-2009

Nome ____________________ cognome ____________________ numero ________

Istruzioni

Per la prova è consentito esclusivamente l'uso di una calcolatrice tascabile. La consegna della "brutta" è obbligatoria (riportare nome, cognome e numero d'ordine su ogni foglio). Accanto ad ogni quesito è riportato il punteggio ottenibile in caso di risoluzione completa dell'esercizio. Lo svolgimento deve contenere una chiara indicazione dei percorsi di risoluzione e dei calcoli necessari.

Quesiti

1. Si supponga che, per la Lazio, in ciascuna giornata di campionato sia equiprobabile vincere, pareggiare e perdere.

   • A) (2 punti) Si costruisca la distribuzione di probabilità della variabile casuale "punti in classifica dopo le prime due giornate" (N.B. la vittoria vale 3 punti, il pareggio 1, la sconfitta 0).
   • B) (2 punti) Si calcoli il valore atteso della variabile casuale.
   • C) (2 punti) Si calcoli la varianza della variabile casuale.

2. Alessandro e Betta partecipano in coppia ad un quiz televisivo. Un meccanismo aleatorio stabilisce chi dei due deve rispondere a ciascuna domanda, sceglie Alessandro con probabilità p_A = 1/3 e Betta con probabilità 1 - p_A = 2/3. Alessandro risponde esattamente a ciascuna domanda con probabilità 3/5. Betta con probabilità 1/10.

   • A) (2 punti) Con che probabilità la coppia risponde esattamente ad una domanda?
   • B) (2 punti) Con che probabilità ha risposto Betta se la risposta è sbagliata?
   • C) (2 punti) Quale dovrebbe essere il valore di p_A affinché la probabilità del punto (b) sia pari a 1/2?

3. Sia X ~ Bin(n, 1/3).

   • A) (2 punti) Qual è il valore per il parametro n, sapendo che la deviazione standard (o scarto quadratico medio) di X è pari a 2?
   • B) (2 punti) Qual è la probabilità di ottenere al massimo 16 successi nelle n prove (N.B. n è il valore del parametro trovato al punto (a))?

4. Sia X ~ N(20, 2).

   • A) (2 punti) Determinare P(X < 20) senza utilizzare le tavole (giustificare in modo opportuno la risposta).
   • B) (3 punti) Come cambierebbe P(X < 20) se X ~ N(20, 4) (giustificare in modo opportuno la risposta)?

5. In media un cittadino corre per 30 minuti al giorno. Supponendo che il tempo della corsa (X) sia distribuito secondo una distribuzione Normale.

   • A) (3 punti) Si determini sigma tale che nel 97% dei casi il tempo di corsa sia almeno di 27 minuti.

6. Il peso dei macchinari prodotti da una ditta si distribuisce secondo una distribuzione Normale con media 25 e varianza 9.

   • A) (3 punti) Trovare quel valore tale che il 2,275% dei macchinari prodotti presenti un peso al massimo pari a tale valore.

7. Una fabbrica produce pezzi difettosi con probabilità pari a 0,06. Si supponga di osservare un campione di 1060 pezzi.

   • A) (5 punti) Si calcoli la probabilità che il numero di pezzi difettosi sia non inferiore a 70.