Statistica Etivity 2 del 2020

Etivity2 – Giochiamo con la probabilità

Argomenti da conoscere: richiami di calcolo combinatorio - Definizione classica di probabilità - Assiomatizzazione del calcolo delle probabilità - Probabilità condizionata - Probabilità composte - Teorema delle probabilità totali - Teorema di Bayes

Durata media esercitazione: 5 ore

Esercizio 1

In una scatola contenente 16 cioccolatini, 4 sono con ripieno al cocco. Qual è la probabilità che scegliendo 4 cioccolatini, nessuno sia con ripieno al cocco?

Esercizio 2

Un libro di 500 pagine contiene 50 errori di stampa. Qual è la probabilità di trovare almeno 3 errori su una pagina aperta a caso?

Esercizio 3

In una libreria ci sono 1500 volumi fra libri gialli, romanzi e saggi. Sapendo che i romanzi sono 348 e i gialli sono il triplo dei saggi, calcola la probabilità di ottenere, in due estrazioni successive senza reimmissione, un libro giallo e un romanzo.

Esercizio 4

In un'urna ci sono 25 palline numerate da 1 a 25. Calcolare la probabilità che estraendo una pallina esca un numero multiplo di 5.

Esercizio 5

Determinare la probabilità che estraendo per 5 volte una carta da un mazzo da 40 (inserendo ogni volta la carta estratta e rimescolando bene il mazzo) si ottengano 3 figure.

Etivity2 – Giochiamo con la probabilità

Argomenti da conoscere: richiami di calcolo combinatorio - Definizione classica di probabilità - Assiomatizzazione del calcolo delle probabilità - Probabilità condizionata - Probabilità composte - Teorema delle probabilità totali - Teorema di Bayes

Durata media esercitazione: 5 ore

Esercizio 1

In una scatola contenente 16 cioccolatini, 4 sono con ripieno al cocco. Qual è la probabilità che scegliendo 4 cioccolatini, nessuno sia con ripieno al cocco?

Esercizio 2

Un libro di 500 pagine contiene 50 errori di stampa. Qual è la probabilità di trovare almeno 3 errori su una pagina aperta a caso?

Esercizio 3

In una libreria ci sono 1500 volumi fra libri gialli, romanzi e saggi. Sapendo che i romanzi sono 348 e i gialli sono il triplo dei saggi, calcola la probabilità di ottenere, in due estrazioni successive senza reimmissione, un libro giallo e un romanzo.

Esercizio 4

In un’urna ci sono 25 palline numerate da 1 a 25. Calcolare la probabilità che estraendo una pallina esca un numero multiplo di 5.

Esercizio 5

Determinare la probabilità che estraendo per 5 volte una carta da un mazzo da 40 (inserendo ogni volta la carta estratta e rimescolando bene il mazzo) si ottengano 3 figure.

Esercizio 1

16 cioccolatini

4 al cocco

P(x=0) su 4 cioccolatini = ?

Probabilità di 1 cioccolatino al cocco → p = ⁴/₁₆ = 0,25

Prove di estrazione = 4

P(x=0)?

P(x=0) = ^4!/_{0! · 4!} · 0,25⁰ · 0,75⁴ = 0,316

Applico il teorema di Bernoulli per risolvere questo passo.

Prima si calcola la probabilità di estrarre un cioccolatino al cocco e poi con le formule di Bernoulli si calcola la probabilità che su 4 estrazioni vi siano zero cioccolatini al cocco (P×=0).

Lo stesso esercizio si può risolvere anche senza l’utilizzo delle formule di Bernoulli.

Probabilità di non estrarre un cioccolatino al cocco → p = ¹²/₁₆ = 0,75

Probabilità nessun cioccolatino al cocco su 4 estrazioni = 0,75⁴ = 0,316

Esercizio 2

500 pagine totali

50 errori

P(x≥3)=?

In tutto il libro ci sono 0,1 errori in media per pagina.

Errore medio per ogni singola pagina → ⁵⁰/₅₀₀ = 0,1

Probabilità di trovare 3 errori nella stessa pagina:

P(x=3) = ^e-0,10,13/_3! = 0,00015 → 0,015% La probabilità di trovare 3 errori nella stessa pagina, se un libro di 500 pagine con 50 errori totali, è molto bassa e corrisponde allo 0,015%.

Probabilità di trovare almeno 3 errori nella stessa pagina:

P(x≥3) = 1 - [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

P(x=0) = ^e-0,10,10/_0! = 0,904

P(x=1) = ^e-0,10,11/_1! = 0,090

P(x=2) = ^e-0,10,12/_2! = 0,004

P(x≥3) = 1 - [0,904 + 0,090 + 0,004] = 0,002 → 0,2%

Esercizio 3

1500 volumi totali

Romani = 348

Gialli = 3 • saggi

P_A = libro giallo

P₂ = romanzo

P_TOT = P₁ ∩ P₂

Prima devo calcolare il numero dei libri di diverso genere.

Romani + gialli + saggi = 1500

348 + 3 • saggi + saggi = 1500

4 saggi = 1500 - 348

saggi = 1152 / 4 = 288

Gialli = 3 • 288 = 864

Romani = 348 + Gialli = 864 + saggi = 288 = 1500 totali

P(E₁) = 864 / 1500 = 0,576

P(E₂) = 348 / 1500 = 0,232

P(E₃) = P₁ ∩ P₂ = 0,576 • 0,232 = 0,1336

Applico teorema dell'intersezione.