Statistica Etivity 3 2020

Etivity3 – Le variabili casuali e il loro utilizzo nella società

Argomenti da conoscere: Concetto di variabili casuali - Variabili casuali discrete (Bernoulli - Poisson) - Variabili casuali continue (Gaussiana – Normale).

Durata media esercitazione: 5 ore

Esercizio 1

Se il 5% dei chip di memoria prodotti da una macchina sono difettosi, determinare la probabilità che su 4 chip scelti a caso 1 sia difettoso.

Esercizio 2

Dalle statistiche degli ultimi 5 anni, un'azienda ha calcolato che ogni giorno sono assenti in media 1.8 operai. Calcolare la probabilità che in un giorno qualsiasi ci siano 3 operai assenti contemporaneamente.

Esercizio 3

Un’indagine di una compagnia telefonica ha stabilito che la durata (in secondi) delle chiamate dei propri utenti è distribuita come una Normale con media 280 secondi e deviazione standard di 80 secondi. Qual è la probabilità che la durata sia tra 240 e 320 secondi?

Esercizio 4

Si consideri una variabile casuale Normale con media 100 e varianza 25. Calcolare la probabilità che X sia maggiore di 110.

Esercizio 5

Si consideri una variabile casuale Normale con media 100 e varianza 25. Calcolare la probabilità che X sia minore di 120.

Etivity3 - Le variabili casuali e il loro utilizzo nella società

Argomenti da conoscere: Concetto di variabili casuali - Variabili casuali discrete (Bernoulli - Poisson) - Variabili casuali continue (Gaussiana - Normale).

Durata media esercitazione: 5 ore

Esercizio 1

Se il 5% dei chip di memoria prodotti da una macchina sono difettosi, determinare la probabilità che su 4 chip scelti a caso 1 sia difettoso.

Esercizio 2

Dalle statistiche degli ultimi 5 anni, un'azienda ha calcolato che ogni giorno sono assenti in media 1.8 operai. Calcolare la probabilità che in un giorno qualsiasi ci siano 3 operai assenti contemporaneamente.

Esercizio 3

Un’indagine di una compagnia telefonica ha stabilito che la durata (in secondi) delle chiamate dei propri utenti è distribuita come una Normale con media 280 secondi e deviazione standard di 80 secondi. Qual è la probabilità che la durata sia tra 240 e 320 secondi?

Esercizio 4

Si consideri una variabile casuale Normale con media 100 e varianza 25. Calcolare la probabilità che X sia maggiore di 110.

Esercizio 5

Si consideri una variabile casuale Normale con media 100 e varianza 25. Calcolare la probabilità che X sia minore di 120.

Esercizio 1

5% dei chip è difettoso

4 chip

Probabilità che 1 chip sia difettoso P(x=1)=?

Risoluzione del problema tramite la formula di Bernoulli

La probabilità dei chip difettosi è 0,05

n = 4

x = 1

P(x=1)= ^4!/_1!(4-1)! . 0,05¹.0,95³ = 0,171

Per risolvere l'esercizio si applica il teorema di Bernoulli:

Ponendo n=4 ed x=1. La probabilità di trovare un pezzo difettoso è del 5% quindi dello 0,05

Formula di Bernoulli → P(X=x) = ^n!/_n!(x-n)! . p^x . (1-p)^n-x ∀x = 0,1,2 ... bn

Esercizio 2

1,8 operai assenti ogni giorno in media

Probabilità che ci siano 3 operai assenti in un qualsiasi giorno?

Per risolvere l'esercizio è necessario applicare la variabile discreta di Poisson considerando il valore di λ pari a 1,8

λ=1,8 valore medio operai assenti

P(x=3)=e^-1.8·1.8³/_3!=0,160 → 16,06%

La probabilità che in un qualsiasi giorno siano assenti 3 operai è del 16,06% considerando le statistiche degli ultimi 5 anni che vedono 1,8 operai assenti di media al giorno

Per risolvere l'esercizio si applica la distribuzione discreta di Poisson che generalizzata si traduce in P(x=x)=e^-λ·λ^x/_x! (λ corrisponde al valore medio)

Esercizio 3

Distribuzione Gaussiana media=moda=mediana

μ = 280 secondi

σ = 80 secondi

Probabilità che la durata sia tra 240 e 320 secondi

Il primo passaggio è quello di effettuare la standardizzazione

z₁ = ^{X - μ}/_σ = ^{240 - 280}/₈₀ = ^-40/₈₀ = -0,5

z₂ = ^{X - μ}/_σ = ^{320 - 280}/₈₀ = ⁴⁰/₈₀ = 0,5

P(240 ≤ X ≤ 320) = P(-0,5 ≤ X ≤ 0,5)= Φ(0,5) - Φ(-0,5) = Φ(0,5) - (1 - Φ(0,5)) = 0,691 - (1 - 0,691)= 0,691 - 0,309 = 0,382

La probabilità che la telefonata duri tra 240 e 320 secondi è del 38,2%.

Esercizio 4

Variabile casuale Normale (Gaussiana)

μ = 100

σ² = 25

P(x > 110) = ?

σ = √σ² = 5

z = _{x - μ}/^σ = _{110 - 100}/⁵ = ₁₀/⁵ = 2

P(x > 110) = P(z > 2)= 1 - P(z ≤ 2) = 1 - Φ2 = 1 - 0.977 = 0.023

La probabilità che x sia maggiore di 110 è nello 0.023 = 2.3%