Sistemi di secondo grado e problemi di geometria piana

Complementi di algebra

Equazioni di grado superiore al secondo

Esercizi svolti

Sistemi di secondo grado

Problema geometrico di secondo grado

Risolvere il sistema

Siamo dati il sistema:

{4(y + 4x) = (x + 4)²
x + 2y = 8 [0;4), (6;1]

Svolgiamo i calcoli

{4y + 16x = x² + 8x + 16
x + 2y = 8

Riscriviamo il sistema come:

{4y = x² − 8x + 16
y = (8 − x) / 2

Sostituendo nell'equazione, otteniamo:

{4 * (8 − x) / 2 = x² − 8x + 16
y = (8 − x) / 2

{16 − 2x = x² − 8x + 16
y = (8 − x) / 2

Da cui:

{x² − 6x = 0
y = (8 − x) / 2

Le soluzioni del sistema sono:

• x₁ = 0, y₁ = 4
• x₂ = 6, y₂ = 1

Il sistema è determinato e le soluzioni sono: (0;4) e (6;1)

Risolvere il sistema

Siamo dati il sistema:

{2x - (y - 2)² = (x + 1)
(1 + 4y + x) - 2x + y = 5 [(– 2;7), (7;–2)]

Svolgiamo i calcoli

Riscriviamo il sistema come:

{2x - y² + 4y - 4 = x + 4x
y + x² + 1 + 4y + x - 2x + y = 5

{x² + y² + 4xy + 3 = 0
x + y = 5}

Da cui si ottiene:

{(x + y)² - 2xy + 4xy + 3 = 0
x + y = 5}

Semplificato in:

{(x + y)² + 2xy + 3 = 0
x + y = 5}

Calcoliamo:

{(5)² + 2xy + 3 = 0
x + y = 5}

Da cui:

{xy = -14
x + y = 5}

Equazione risolutiva

Scriviamo l'equazione che risolve il sistema:

t² - 5t - 14 = 0

Il cui discriminante è:

Δ = 25 + 56 = 81

Le soluzioni sono:

t = ^{5 ± √81}/2 = ^{5 ± 9}/2

Da cui le radici sono:

• t₁ = -2
• t₂ = 7

Il sistema è determinato e le soluzioni sono (– 2; 7) e (7; –2).