Equazioni di secondo grado e problemi di geometria piana

Complementi di algebra

Equazioni di secondo grado

Esercitazione n^o 14

Equazione di secondo grado parametrica

Problema di geometria piana

Complementi di algebra

Equazioni di secondo grado

Esercitazione n^o 14

Equazione di secondo grado parametrica

Problema di geometria piana

Equazione di secondo grado parametrica

Risolvi la seguente equazione nell’incognita x, discutendo i valori del parametro reale t se necessario.

(t + 6)x² - 2(t + 3)x + t = 0

Osserviamo che se t = -6 il coefficiente di secondo grado si annulla quindi l’equazione si riduce a una di primo grado, 6x - 6 = 0, con soluzione x = 1.

Per t ≠ -6 calcoliamo il discriminante:

Δ / 4 = (t + 3)² - (t + 6)t = t² + 9 + 6t - t² – 6t = 9 > 0.

L’equazione in questo caso ha sempre due soluzioni:

x = (t + 3 ± 3) / (t + 6) → x₁ = 1, x₂ = t / (t + 6)

Inoltre se t = -3 l’equazione è pura e ha soluzioni 1 e -1.

In conclusione: se t = -6 l’equazione è di primo grado e ha soluzione x = 1; se t ≠ -6 l’equazione ha due soluzioni reali x₁ = 1, x₂ = t / (t + 6); in particolare se t = -3 le soluzioni sono 1 e -1.

Problema di geometria piana

Dato il rettangolo ABCD, per quale valore di a l’area colorata in figura è 32 cm²? [2 cm]

Dati a disposizione

I dati a nostra disposizione:

• ABCD rettangolo
• DH = 2a
• HC = a
• CJ = a
• JB = a + 3
• A₃ = 32 cm²

Calcolo delle aree

Il triangolo HCJ è rettangolo e isoscele come il triangolo DKH quindi le rispettive aree A₁ e A₂ saranno:

A₁ = 4a² / 2, A₂ = a² / 2.

L’area del rettangolo ABCD è A = (2a + 3)a = 6a² + 9a.

Poiché A = A₁ + A₂ + A₃ avremo l’equazione risolvente 6a² + 9a = a² / 2 + 4a² / 2 + 32.

6a² + 9a = 5 / 2 a² + 32 → 12a² + 18a = 5a² + 64 → 7a² + 18a − 64 = 0

Calcoliamo il discriminante.

Δ / 4 = 81 + 64 · 7 = 529 = 23²