Sistemi lineari, problema di geometria piana, sistema parametrico

Complementi di algebra

Sistemi lineari

Esercitazione n° 5

Sistema parametrico

Problema di geometria piana risolvibile con un sistema lineare

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Esercitazione n° 5

Sistema parametrico

Problema di geometria piana risolvibile con un sistema lineare

Polinomio e condizioni

Nel polinomio P(x) = ax³ + bx + 3x² − 12 trova a e b in modo che valgano le due condizioni:

• P(x) sia divisibile per x − 2;
• P(1) P(−1) = 2

[a = 1; b = −4]

Applicazione del teorema di Ruffini

Per il teorema di Ruffini, P(x) è divisibile per x − 2 se e solo se P(2) = 0.

Il sistema risolvente è:

{P(2) = 0
P(1) = 2

⟶ a (2)³ + b (2) + 3 (2)² – 12 = 0    a + b – 9 = 0

   {8a + 2b = 0
       a + b – 9

a (−1)³ + b (−1) + 3 (−1)² − 12 = 2

⟶ { ⟶  8a + 2b = 0
    a + b – 9
       −a – b – 9 = 2
           −a – b ≤ 9

⟶ poniamo –a – b – 9 ≠ 0 ⟶ C.E. a + b ≠ −9.

Risoluzione del sistema

{8a + 2b = 0
a + b = 9

⟶ {8a + 2b = 0
3a + 3b = −9

⟶ {4a + b = 0
a + b = –3

Applichiamo il metodo di riduzione.

{4a + b = 0
a + b = –3

⟶ 3a = 3 ⟶ a = 1

⟶ {a = 1
      b = –3 – 1 = –4

Il polinomio P(x) cercato è P(x) = x³ + 3x² – 4x – 12