Scivolando sul cuneo in assenza di attriti

Scivolando sul cuneo in assenza di attriti

Impulso e quantità di moto

Sulla cima A di un cuneo di massa M ed inclinazione theta è posta, ad altezza h dal piano orizzontale su cui poggia il cuneo, una sfera di massa m (Figura 5.9.1). Tutte le superfici sono senza attrito. Quando m comincia a scivolare verso il basso, anche il cuneo si mette in movimento (verso sinistra). Calcolare la velocità V_F del cuneo e quella della sfera v_F quando essa raggiunge il piano orizzontale. Che cosa succede alla sfera dopo che ha raggiunto il punto B?

Fissato il sistema di riferimento sul piano xOy con l'origine nel punto di incontro

Relazione tra le componenti delle velocità

Derivando la (3) rispetto al tempo, otteniamo questa importante relazione tra le componenti delle velocità:

- y = (x - X) tg θ

Infatti essendo evidentemente: x = v_x; X = V e y = v_y possiamo scrivere:

- v_y = (v_x - V) tg θ     (4)

Posto ora μ = m/M, dalla (1) ricaviamo:

V = - μ v_x     (5)

Il segno meno indica, come è giusto, che le due velocità hanno verso opposto.

Combinando la (5) con la (4) si trova:

v_y = - v_x (1 + μ) tg θ     (6)

Utilizzando infine i risultati della (5) e della (6) possiamo riscrivere la (2) nel modo seguente:

m g h = (½) M μ² v_x² + (½) m [v_x² + v_x² (1 + μ)² tg²θ] + m g y

Dividendo poi tutta l'equazione per m, esprimendo il rapporto delle masse con μ e semplificando, otteniamo l'equazione:

g h = (½) μ v_x² + (½) v_x² [1 + (1 + μ)² tg²θ] + g y     (7)

Dopo aver osservato che, quando la massa m giunge al fondo del piano inclinato, la sua ordinata nel sistema di riferimento deve essere nulla, ponendo nella (7) y = 0 e v_x = v_xF, possiamo ricavare la componente orizzontale della velocità finale v_F della sfera:

Ripetizione del procedimento

Derivando la (3) rispetto al tempo, otteniamo questa importante relazione tra le componenti delle velocità:

-y = (x - X) tg θ

Infatti essendo evidentemente: x = v_x; X = V e y = v_y possiamo scrivere:

- v_y = (v_x - V) tgθ (4)

Posto ora μ = m/M, dalla (1) ricaviamo:

V = - μ v_x (5)

Il segno meno indica, come è giusto, che le due velocità hanno verso opposto. Combinando la (5) con la (4) si trova:

v_y = - v_x (1 + μ) tgθ (6)

Utilizzando infine i risultati della (5) e della (6) possiamo riscrivere la (2) nel modo seguente:

m g h = (1/2) M μ² v_x² + (1/2) m [v_x² + v_x² (1 + μ)² tg²θ] + m g y

Dividendo poi tutta l'equazione per m, esprimendo il rapporto delle masse con μ e semplificando, otteniamo l'equazione:

g h = (1/2) μ v_x² + (1/2) v_x² [1 + (1 + μ)² tg²θ] + g y (7)

Dopo aver osservato che, quando la massa m giunge al fondo del piano inclinato, la sua ordinata nel sistema di riferimento deve essere nulla, ponendo nella (7) y = 0 e v_x = v_xF, possiamo ricavare la componente orizzontale della velocità finale v_F della sfera:

v_xF = +√(2 g h / ((1 + μ) [1 + (1 + μ) tg²θ])) (8)

Il risultato della (8) combinato con la (5) ci permette di ottenere subito anche la velocità finale del cuneo:

V_F = - sqrt( (2ghmu²) / ((1+mu)[1+(1+mu)tg² theta]) )

Infine dalla (6) possiamo dedurre anche v_yF:

v_yF = - sqrt( (2gh(1+mu)tg² theta) / (1+(1+mu)tg² theta) )

Forma definitiva con seno e coseno

Volendo esprimere la (8), la (9) e la (10) per mezzo di sen e cos ricordando che cos²theta + sen²theta = 1 e che tg theta = sen theta/cos theta, con qualche passaggio algebrico, possiamo esprimere tutti i risultati nella seguente forma definitiva:

V_F = - sqrt( (2ghmu²cos²theta) / ((1+mu)(1+mu sen² theta)) )

v_xF = + sqrt( (2ghcos²theta) / ((1+mu)(1+mu sen² theta)) )

v_yF = - sqrt( (2gh(1+mu)sen²theta) / (1+mu sen² theta) )

Controllo numerico dei risultati

Possiamo controllare numericamente i risultati, utilizzando, ad esempio, i seguenti dati: M = 5 Kg; m = 1 Kg; h = 1 m; theta = 60°; mu = m/M = 1/5 = 0,2; g = 9.81 m/s². Eseguiti i calcoli si trova:

V_F = - 0,38 m/s; v_xF = + 1,89 m/s; v_yF = - 3,92 m/s;

v_F = sqrt(v_xF² + v_yF²) = 4,35 m/s (v_F ha la direzione del piano inclinato).

Comportamento della sfera sul piano orizzontale

Per rispondere infine all'ultima domanda del problema (come si comporta la sfera quando raggiunge il piano orizzontale), possiamo fare due considerazioni:

• Se il bordo del cuneo a contatto con il piano orizzontale è arrotondato, allora il vettore v_F viene trasferito interamente sul piano orizzontale e la sfera scivolerà su di esso con