Scivolando sul cuneo in assenza di attriti

Scivolando sul cuneo in assenza di attriti

Impulso e Quantità di Moto

Scivolando sul cuneo in assenza di attriti

Impulso e Quantità di Moto

Sulla cima A di un cuneo di massa M ed inclinazione θ è posta, ad altezza h dal piano

orizzontale su cui poggia il cuneo, una sfera di massa m (Figura 5.9.1 ). Tutte le

superfici sono senza attrito. Quando m comincia a scivolare verso il basso, anche il

cuneo si mette in movimento (verso sinistra). Calcolare la velocità Vf del cuneo e

quella della sfera vf quando essa raggiunge il piano orizzontale. Che cosa succede

alla sfera dopo che ha raggiunto il punto B?

Fissato il sistema di riferimento sul piano xOv con l'origine nel punto di incontro

Derivando la (3) rispetto al tempo, otteniamo questa importante relazione tra le

componenti delle velocità:

^{−ẏ=(ẋ−Ẋ)tgθ}

Infatti essendo evidentemente:   ẋ = v_x ;  Ẋ = V e  ẏ = v_y possiamo scrivere:

−v_y = (v_x−V) tgθ

Posto ora  μ = m/M, dalla (1) ricaviamo:

V = − μ v_x

Il segno meno indica, come è giusto, che le due velocità hanno verso opposto.

Combinando la (5) con la (4) si trova:

v_y = − v_x (1 + μ) tgθ

Utilizzando infine i risultati della (5) e della (6) possiamo riscrivere la (2) nel modo

seguente:

m g h = (½) M μ² v_x² + (½) m [v_x² + v_x² (1+μ)²t²θ] + m g y

dividendo poi tutta l'equazione per m, esprimendo il rapporto delle masse con μ e

semplificando, otteniamo l’equazione:

g h = (½) μ v_x² + (½) v_x² [1 + (1+μ)²t²θ] + g y

Dopo aver osservato che, quando la massa m giunge al fondo del piano inclinato, la

sua ordinata nel sistema di riferimento deve essere nulla, ponendo nella (7) y = 0 e

v_x = v_xf , possiamo ricavare la componente orizzontale della velocità finale v_f della

sfera:

Derivando la (3) rispetto al tempo, otteniamo questa importante relazione tra le componenti delle velocità:

Infatti essendo evidentemente: ẋ = v_x ; Ẋ = V e ẏ = v_y possiamo scrivere:

v_y = (v_x – V) tgθ

Posto ora μ = m/M, dalla (1) ricaviamo:

V = – μ v_x (5)

Il segno meno indica, come è giusto, che le due velocità hanno verso opposto.Combinando la (5) con la (4) si trova:

v_y = – v_x (1 + μ) tgθ (6)

Utilizzando infine i risultati della (5) e della (6) possiamo riscrivere la (2) nel modo seguente:

m g h = (½) M μ² v_x² + (½) m [v_x² + v_x² (1+μ)² tg²θ] + m g y

dividendo poi tutta l’equazione per m, esprimendo il rapporto delle masse con μ e semplificando, otteniamo l’equazione:

g h = (½) μ v_x² + (½) v_x² [1 + (1+μ)² tg²θ] + g y (7)

Dopo aver osservato che, quando la massa m giunge al fondo del piano inclinato, la sua ordinata nel sistema di riferimento deve essere nulla, ponendo nella (7) y = 0 e v_x = v_xf, possiamo ricavare la componente orizzontale della velocità finale v_f della sfera:

v_xf = + √ ( 2 g h / (1+μ) [1+(1+μ)tg²θ] ) (8)

Il risultato della (8) combinato con la (5) ci permette di ottenere subito anche la velocità finale del cuneo:

V_F = √(2ghμ² / (1+μ)(1+μ)tg²θ)                                    (9)

Infine dalla (6) possiamo dedurre anche v_yF:

v_yF = √(2gh(1+μ)tg²θ / 1+(1+μ)tg²θ)                                    (10)

Volendo esprimere la (8), la (9) e la (10) per mezzo di senθ e cosθ ricordando che cos²θ + sen²θ = 1 e che tgθ = senθ/cosθ , con qualche passaggio algebrico, possiamo esprimere tutti i risultati nella seguente forma definitiva:

V_F = √(2ghμ²cos²θ / (1+μ)(1+μsen²θ))

v_xF = √(2ghcos²θ / (1+μ)(1+μsen²θ))

v_yF = √(2gh(1+μ)sen²θ / 1+μsen²θ)

Possiamo controllare numericamente i risultati, utilizzando, ad esempio, i seguenti dati: M = 5 Kg; m = 1 Kg; h = 1 m; θ = 60°; μ = m/M = 1/5 = 0,2; g = 9.81 m/s². Eseguiti i calcoli si trova:

V_F = -0,38 m/s;      v_xF = +1,89 m/s;      v_yF = -3,92 m/s;

v_F = √ (v_xF² + v_yF²) = 4,35 m/s       (v_f ha la direzione del piano inclinato).

Per rispondere infine all’ultima domanda del problema (come si comporta la sfera quando raggiunge il piano orizzontale), possiamo fare due considerazioni: 1) se il bordo del cuneo a contatto con il piano orizzontale è arrotondato, allora il vettore v_f viene trasferito interamente sul piano orizzontale e la sfera scivolerà su di esso con