Ricerca operativa - esercizi

Università degli Studi di Napoli "Federico II" - Facoltà di Ingegneria

Corso di Ricerca Operativa, A.A. 2007/2008

Prof. Improta - Prova d'esame del 22.10.2008

Quesito 1

Il signor Candido de Inquinis, proprietario di una piccola industria per la lavorazione di derivati del petrolio, a causa del costo eccessivo richiesto per l'allacciamento del capannone alla rete elettrica, si è dotato di due gruppi elettrogeni, acquistati d'occasione, dei quali uno utilizza gasolio e l'altro olio combustibile.

La potenza complessiva di due gruppi è certamente sufficiente a coprire il fabbisogno aziendale di energia. Il gruppo elettrogeno che funziona a gasolio è in grado di produrre 2 kWh di energia elettrica per ogni litro di combustibile, mentre quello funzionante ad olio combustibile ne produce 4 kWh/litro.

I dati stimati sui consumi minimi giornalieri indicano la necessità di produrre almeno 40 kWh/giorno.

Il Ministro per l'ambiente, nel tentativo di rispettare i dettami del Protocollo di Kyoto, ha fatto approvare un decreto legge che limita drasticamente l'immissione nell'atmosfera di carichi inquinanti.

Il decreto, approvato dal Consiglio dei Ministri, prevede che aziende rientranti nella classe di dimensione alla quale appartiene quelle del signor de Inquinis non possano immettere nell'atmosfera più di 160 g di CO₂, 240 g di NO_x e 50 g di SO₂ al giorno.

• Gasolio: 4, 4, 1
• Olio combustibile: 2, 4, 4

Ancor più allarmato, il signor de Inquinis si rivolge alla per ottenere una informazione attendibile sulla produzione di energia elettrica che egli potrà realizzare senza superare i limiti fissati dal decreto ministeriale.

In primo tempo, però, per la consulenza, un compenso di 500 euro. Di fronte alla disperazione del signor de Inquinis decide di rinunciare al compenso in cambio di un allacciamento all'impianto dello stabilimento ed alla possibilità di prelevare da esso giornalmente 20 kWh, soluzione, questa, accettata da de Inquinis.

Con riferimento al problema descritto

• Si formuli il modello 1 di programmazione lineare in grado di rispondere alla richiesta del sig. de Inquinis, illustrando le diverse componenti e elencando i vincoli nell'ordine in cui sono stati presentati;
• Si descriva il dominio di ammissibilità, la direzione della funzione obiettivo e del suo gradiente;
• Si risolva graficamente il modello, individuando il vertice ottimo, i corrispondenti vincoli saturi e determinando il valore di tutte le variabili del problema;
• Si identifichi la base ottimale, la sua taglia, ed eventuali verificatori complanari di base descritti per i vincoli del dominio;
• Si calcoli il numero delle soluzioni di base e si indichino le soluzioni di base (ammissibili e non ammissibili) individuabili sul grafico della soluzione, ed, in particolare, quali soluzioni di base risultano ammissibili e quali non ammissibili, dicendo, per ciascuna, quale è, o quale provide una valutazione dello zero negativo;
• Utilizzando un algoritmo grafico del simplesso si risolva il problema ed illustrando i dati delle variabili decisionali, delle slack e delle duali;
• Si segua sul grafico la successione delle soluzioni di base (non ammissibili ed ammissibili) incontrate dall'algoritmo per giungere alla soluzione ottima.

Quesito 2

Voci ministeriali (di cordoni) indicano che il limite sulla emissione di CO₂ e di NO_x potrebbero essere modificati.

Un po' sollevato il signor de Inquinis chiede alla nord srl di valutare l'influenza sulla energia massima producibile di incrementi ma anche di riduzioni di tali limiti.

Quesito 3

Con riferimento al problema di ottimizzazione, formulato e risolto nel quesito 1:

• Si scriva il modello matematico del suo problema duale spiegando come esso sia stato ottenuto;
• Si illustri il significato delle variabili duali;

Quesito 4

• E che ad essi siano associati i flussi generati 50 e 30 rispettivamente; che vi sia un unico nodo pozzo (il nodo 7) che assorba il flusso generato e che le capacità Si scriva il modello matematico del problema del flusso a costo minimo associato al grafo riportato in figura. Si supponga che i nodi 1 e 4 siano due sorgenti ed i costi sugli archi siano quelli riportati in figura (costo(capacità);
• Si illustrino la relazione del modello del flusso massimo con quello del flusso a costo minimo.

Quesito 5

Si dimostri che, la soluzione di un problema del trasporto indicata di seguito non è di base ammissibile:

• Offerte: 45, 10, 5, 60
• Domande: 45, 30, 60, 50

Quesito 6

Si indichino le condizioni geometriche ed il tipo di segnalazione fornita dall'algoritmo del simplesso allorché nel corso della risoluzione di un problema si verifichino delle seguenti circostanze: il problema ha infinite soluzioni ottime; la soluzione ottima è illimitata; si presenta una soluzione degenerativa; il problema è inconsistente.

Tempo massimo a disposizione 3 ore.

Nell'elaborato consegnato, i quesiti (ed i sottoggetti) devono apparire nel medesimo ordine in cui sono posti nel compito.

Scrivere in modo chiaro. Utilizzare fogli a quadretti, numerando i fogli e segnando cognome nome e matricola in alto a destra.