Riassunto per esame tecnica modulo telai

Procedimento

1. Numerare i nodi
2. Individuare le incognite cinematiche, nodi fissi o spostabili
3. Bloccare le rotazioni e studiare il problema a nodi bloccati
4. Sbloccare una a una le rotazioni imponendo il valore unitario allo spostamento corrispondente
5. Scrivere le equazioni di equilibrio, tante quante sono le incognite cinem.
6. Calcolo φ₁, φ₂, ...
7. Disegno la soluzione statica del problema, tracciando le azioni alle estremità delle aste
8. Tracciare i diagrammi delle azioni
9. Calcolo le azioni delle aste, M, V, per sovrapposizione degli effetti
10. Calcolo le azioni assiali

Telai o nodi fissi o spostabili

Se, inserendo una cerniera in ogni nodo interno ed esterno in cui si sono vincolate le rotazioni, sia che esso sia un vincolo rigido o cedevole:

• Nodi fissi → Isostatica o Iperstatica, GDL = GDU. I nodi possono considerarsi liberi di ruotare senza subire alcuno spostamento
• Spostabili → Labile, GDL > GDU. I nodi oltre a ruotare possono anche traslare

N.B.: Se non si trascura la deformabilità assiale ogni telaio risulta a nodi spostabili.

Se il telaio non fosse a nodi fissi dovremmo inserire dei carrelli.

Unità di misura

q [kN/m]

F [kN]

E [kN/m²] = 3 · 10⁴ MPa = 3 · 10⁷ N/m²

ε_ij = [kN·m/rad]

N_j = [kN]

ε_π = [kN/m]

V = [kN]

μ_ρ = rad

M = [kN·m]

δ = m

Procedimento

1. Numerare i nodi
2. Individuare le incognite cinematiche, nodi fissi o spostabili
3. Bloccare le rotazioni e studiare il problema a nodi bloccati, studiando effetti carichi e forze appl.
4. Bloccare, una a una le rotazioni imponendo il valore unitario allo spostamento corrispondente
5. Scrivere le equazioni di equilibrio, tante quante sono le incognite cinem.
6. Calcolo ϕ₁, ϕ₂, ...
7. Disegno la soluzione statica del problema, tracciando le azioni alle estremità delle aste
8. Tracciare i diagrammi delle azioni
9. Calcolo le azioni delle aste, M, V per sovrapposizione degli effetti
10. Calcolo le azioni assiali

Telai a nodi fissi o spostabili

Se, inserendo una cerniera in ogni nodo interno ed estremo in cui siano vincolate le rotazioni, sia che esso sia un vincolo rigido o cedevole:

• Nodi fissi → Isostatica o Iperstatica, GDL = GDU. I nodi possono considerarsi liberi di ruotare senza subire alcuno spostamento
• Spostabili → Labile, GDL > GDU. I nodi oltre a ruotare possono anche traslare

N.B.! Se non si trascura la deformabilità assiale ogni telaio risulta a nodi spostabili.

• Se il telaio non fosse a nodi fissi dovremmo inserire dei carrelli

Unità di misura

q [kN/m] F [kN] E [kN/m²]

E_cls = 3·10⁴ MPa E_acc, ε_S = 2,1·10⁵ MPa

ϕ = rad δ = m

S_A = ¹⁄₁₂ bh³ [m⁴]

S_B = ¹⁄₁₂ bh³ [m⁴]

E S_A = E S_B [kN m²]

Momento di inerzia

bhhw

k_t = kN m

k_g = kN rad

P_k = k S = EA ln^o_S = k S = EA l

Rigidezza assiale

Deformazioni termiche

α_t [°C⁻¹]

Δ_t,i = α_t Δ_t l_i,0 [m]

Asta inclinata: Q [kN]

Q_j [kN]

Q_l [kN]

q_i [kN/m]

q_a [kN/m]

Q [kN]

¹⁄_hPa = ¹⁄_mm² = 1000 kN m²

1 t = 10 kN

¹⁄_m = 10 kN m

¹⁄_kg cm² ≈ 98.06 ≈ 100 kN m²

1 kg = 0.01 kN

1 ^t⁄_m = ¹⁰kg m

¹⁄_kg cm²

1 kg = 10 N

Casistiche esercizi

1. Molle, cedimento elastico, molle traslazionali e rotazionali

Cedimenti traslazionali: la molla subisce un effetto di forze e spostam.

Cedimenti rotazionali: la molla reagisce solo a rotazioni.

Se la molla è in corrispondenza di un nodo a terra, vincolo esterno, il n° delle inc. cresce, e in corrispondenza di un vincolo interno il n° delle incognite non cambia.

Nella presenza di una molla, sia rotaz. che traslazionale, bisogna fare i seguenti passaggi:

1. Dal vincolo reale elimino la molla
2. Alla molla dobbiamo sostituire un vincolo che blocca il g_dl che la molla consente parzialmente
3. Prendiamo il vincolo reale a cui abbiamo tolto la molla e lo andiamo a sommare agli altri vincoli presenti nel nodo

F = k δ [kN m]

FNo

M = k_g φ [kN m^rad]

Ricapitolando

1. Nella struttura a nodi bloccati tolgo la molla facendo la sostituzione con i 3 punti visti prima: _...
2. Sbloccando le rotazioni continuiamo con la sostituzione.
3. Bloccate le rotazioni, impongo la:
   • Traslaz. verticale
   • Trasl. orizzontale
   • Rotazione

N.B.! Nel nodo in cui è presente la molla impongo una rotazione zero.

2. Cedimento anelastico

Quando trovo una struttura con cedim. anelastico:

1. Studio la struttura a nodi bloccati e, applicando la sovrapposiz. degli effetti scompongo la struttura:
   • A) Una struttura a nodi bloccati studiando carichi e forze
   • B) Struttura a nodi bloccati, tolgo i carichi e forze, e impongo una estazlazione (_...) o traslaz. (_...) del nodo in cui è presente il cedimento
   • Per il primo sostituto uso M_i = ... per il secondo H₂ⁿ =
2. Sblocco le rotazioni dei nodi come sempre fatto
3. Nell'equilibrio inserisco sia i carichi della 1 che della 2, H₂ⁿ, H₂^n'...

3. Distorsioni termiche

A deformazioni imposte,

Curvatura: X = α_t Δt tot / h

Possiamo procedere in 2 modi:

1. A) Considerare 3 incognite (_p2, _δn, _δov):
   • Nella struttura a nodi bloccati: N_i = EA α_tΔt
   • In un eventuale spostam. verticale
2. B) Considero 2 incognite, assumo che _Δt sia solo dovuto all'allungamento termico dell'asta in cui è presente il carico.

Bisogna trattare _Δti come cedimento anelastico.

Nella struttura a nodi bloccati agisco con lo stesso procedimento dei cedimenti anelastici:

• A) Struttura in cui considero solo i carichi
• B) Struttura in cui considero gli spostam. verticali. Procedo poi con sblocco nodi ed equilibrio allo stesso modo svolto

4. Aste inclinate

Casistiche:

1. Carichi concentrati: Se assegno q, calcolate q come: q = 0
2. Carico uniforme

M. distribuito

Possiamo calcolare q₂ a attraverso le azioni dovute al carico:

3. Carico applicato rispetto alla direzione verticale

NB: Se Q non è dato:

Strutture simmetriche e antisimmetriche

A) Strutture simmetriche

Deve avere simmetria.

• Carichi
• Vincoli
• Geometria
• Sezioni materiali
• Sollecitature

Simmetria

Azioni

Spostamenti

N, M

ε

Antisimmetria

V

φ

Ψ

Per risolvere il problema abbiamo 2 modi:

Caso 1: solito metodo

Caso 2: nelle sez. di simmetria abbiamo delle condizioni statiche e cinematiche:

Sez. di simmetria

V = 0

Condiz. statiche

η1, Ψ' = 0

Condiz. cinematiche

Dobbiamo trovare un vincolo che ci permette di tagliare la trave imponendo le condizioni sopra.

Pattino, andrebbe bene anche.

B) Strutture antisimmetriche

Hanno simmetria:

• Geometria
• Vincoli

Ma antisimmetria dei carichi.

ε: 0

N: 0

M: 0

Diagramma taglio e momento

Se non ho un momento applicato ma ho una forza applicata non posso avere una discontinuità, ma solo di pendenza.

Equilibrio a traslazione:

V(x) = FA - q · x

E.G. a rotazione:

M(x) = H12 + FA · x - q · x² / 2

Se H12 > 0

Se H12