Rampa e gradino

Appunti - Elementi di Automazione

Sistemi del primo ordine

y' + a y = b u

Ponendo u = uo e y(0) = y0 ho y = y0 e^-t/T + k(1 - e^-t/T) risposta in evoluzione libera.

Se poi u = costante, ho:

y' + a y = b u

Le soluzioni generali è la somma di una particolare più la generale dell'eq. omogenea:

• Omogenea: y' + a y = 0 -> y = K e^-t/T T = 1/a
• Particolare: uso y = c con c = b/a, uso y' = 0 con c = b/a

Quindi y = y_g + y_p = C uo + K e^-t/T

Ma se a T = 0 y(t=0) = y0 => C uo = -K, K = -C uo

Infine y = C uo - C uo e^-t/T = C uo (1 - e^-t/T)

Risposta alla rampa

Dato un sistema del corrisme T y + y = C u

Se risponde a regime alla rampa risulta una retta del tipo: y = alpha t + beta -> y' = alpha

Sostituisco: T alpha + alpha t + beta = C uo t

La cui: alpha = C uo, T alpha + beta = 0 -> beta = -T C uo

Quindi y = C uo T - T C uo

y(t) = C (t - T + T e^-t/T)

Rafcimmino - Quelli di informatica - http://informatici.altervista.org