Radici quinte prodotto e coniugato

Radici quindi, prodotto e coniugato

Radici quindi, prodotto e coniugato

Risoluzione nel campo complesso

Si risolva nel campo complesso la seguente equazione

(z³_-¹⁄_i)(z² + z - z̅²) = 0

Sono soluzioni dell’equazione data le soluzioni dell’equazione

z³ - ¹⁄_i = 0 (1)

E quelle dell’equazione

z² + z - z̅² = 0 (2)

Risoluzione della seconda equazione

Risolvo la (2) e abbiamo che

z² + z - z̅² = 0

Con la sostituzione z = x + yi e = x - yi si ottiene

(x + y)² + (x + y)(x - y) - (x - y)² = 0

x² + 2xy + y² + (x² - xy + xy - y²) - (x² - 2xy + y²) = 0

x² + 2xy - y² = x² + y² - 2xy + xy + y² = 0

x² + 4xy = 0

Che sarà verificata se x e y sono soluzioni reali del sistema

{ x² + y² = 0

4xy = 0

La seconda equazione ci dice che almeno uno tra x e y deve annullarsi. Nel primo caso si ha

y² = 0

x = 0

Ovvero x = 0 e y = 0, mentre nel secondo caso

{ x² = 0

y = 0

Ovvero x = 0 e y = 0. Quindi

z = 0

È soluzione cercata