Potenziale elettrostatico, campo elettrico e studio di funzione

Esercitazioni per l’esame di stato

Proposta tipo per l’elaborato delle materie d’indirizzo

Problema di matematica e fisica per liceo scientifico

In una regione di spazio è presente un campo elettrostatico con simmetria radiale rispetto a un punto O. Prendendo O come origine del riferimento, il potenziale associato a è espresso dalla funzione V(r) = 4 r^-2, con V misurato in Volt e r in metri.

• Rappresenta la funzione V(r) per r ≥ 0 e stabilisci a quale distanza da O si ha un campo elettrico nullo.
• In quali regioni di spazio, su una carica di prova positiva, agisce una forza diretta verso O?
• In quali una forza di verso opposto?
• Se un protone si trova a una distanza pressoché infinita da O e ha un'energia totale di 5eV, riesce a raggiungere il punto O? Motiva la risposta.

Svolgimento punto a

Dominio

Osserviamo che la variabile indipendente r rappresenta la misura di una distanza, che non può essere negativa. Il dominio della funzione è D = [0; +∞[. La funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio D, e assume solo valori positivi o nulli.

Intersezioni

La funzione V(r) = 4 r^-2 ha un’intersezione con l'asse delle ascisse solo nel punto r = ∞, poiché il fattore esponenziale è sempre positivo e mai nullo.

Limiti agli estremi del dominio

Nello zero, come appena visto, la funzione tende a infinito. Esaminiamo il comportamento a r → +∞:

lim_r→+∞ V(r) = lim_r→+∞ 4 r^-2 = 0

Abbiamo una forma indeterminata, riscriviamo la funzione in modo da poter applicare il teorema di l'Hôpital.

Siano:

f(r) = 4 e g(r) = r²

Calcoliamo il limite del rapporto delle due derivate:

lim_r→+∞ f'(r)/g'(r) = lim_r→+∞ (-8r^-3)/2r = 0

La funzione ammette come asintoto orizzontale, destro, l’asse delle ascisse.

Derivata prima

La derivata prima della funzione V(r) = 4 r^-2 è:

V'(r) = -8 r^-3