Potenziale elettrostatico, lavoro del campo elettrico su un protone

Calcolo della derivata e lavoro dell'elettrone

Derivata prima

Data la funzione rappresentante un potenziale elettrico, calcolare la sua derivata e determinare il lavoro compiuto dalla forza elettrica per spostare un elettrone dall'origine del piano cartesiano al punto P(0;1). Quanto vale il lavoro dell'elettrone se il percorso fosse chiuso?

Calcolo della derivata prima. Dominio: 2 − (3() = + 4 − 1). La funzione V(x) è definita per ogni valore di R.

Derivata prima:

2 − (3() = + 4 − 1)

Applichiamo la regola del prodotto di due funzioni:

′ ()[() ⋅ ()] = ⋅ () + () ⋅ ′()

2 ′(3 ()() = + 4 − 1) → = 6 + 4 − ′ − ()()

= → = − ′ − 2 − (6 (3 () = + 4) ⋅ + + 4 − 1) ⋅ (− )

′ − 2[(6 (3 () = + 4) − + 4 − 1)]

′ − 2() (−3 = + 2 + 5)

Portiamo il segno meno fuori della parentesi:

′ − 2() (3 = − − 2 − 5)

’ ’ = Il dominio della derivata coincide con quello della funzione.

Studio del segno della derivata

Studiamone il segno e gli zeri eventuali:

′ () ≥ 0 − 2(3 − − 2 − 5) ≥ 0 − − − ≥ 0 → ≤ 0

{ 23 − 2 − 5 ≥ 0

L’esponenziale è sempre positiva, quindi mai minore di zero. La presenza del segno meno rende però il primo fattore sempre negativo.

Studiamo il segno del trinomio di secondo grado:

23 − 2 − 5 ≥ 0

Risolviamo l’omogena associata: 23 − 2 − 5 = 0

2 Δ = − 4 = 64 > 0

6 = − = −12 ± 2 ± 8√64 1 6 = =

{ 1, 2 10 56 6 = = 2 6 3

Il trinomio è positivo per valori esterni: 523 − 2 − 5 ≥ 0 → ≤ −1 ∨ ≥ 3

Il primo fattore è negativo, quindi la derivata risulta positiva internamente, come riportato nel quadro dei segni.

Conclusione

La funzione ha:

• Un minimo relativo in 5
• Un massimo relativo in 3

Calcoliamo anche i valori che la funzione assume in essi:

[...]