Potenziale elettrostatico e studio di funzione

2 5 1 Considera la funzione che esprime il potenziale elettrico di una carica

• A. Studia la funzione V(x) e rappresentane il grafico.
• B. Considera la funzione V′(x). Cosa rappresentano i punti di flesso di V(x) per la funzione V′(x)?
• C. Qual è il significato fisico della funzione V′(x)?
• D. Discutere dal punto di vista fisico il significato degli zeri della funzione V’(x).

Svolgimento punto a

Studio della funzione 2 5 1

Dominio

La funzione V(x) è definita per ogni valore di R

Il dominio è il nostro riferimento per la ricerca dei limiti !!

Simmetrie

Controlliamo se la funzione è pari o dispari, verificando le seguenti uguaglianze:

2 5 1 ≠ → è

2 5 1 ≠ → è

Non ci sono simmetrie.

Intersezioni con gli assi cartesiani

2 5 1∩ "##$ %: ' ( 0

2 5 1 0' ( 0

Risolviamo: '2 5 1 0

2 5 1 0 → 0≠0 ∀ ∈

Ricordiamo che la funzione esponenziale non è mai nulla, quindi Δ:

Cerchiamo allora gli zeri del polinomio di secondo grado, calcolando il5 ± 5 5√33 √33 √33

2 5 1 0 ≈ 2,7 ≈ 0,2→- → 4: ∨ 8:

' - -4 4 4., .( 0 ( 0 ( 0 ( 0

4 9 ; 0? 89 ; 0?:;√<< √<< := =

La funzione interseca l’asse della ascisse nei punti

2 5 1∩ "##$ @: ' 0 ( 1

0 10 1⋅ B →C → D:

' C 000 D 0; 1

La funzione interseca l’asse delle ordinate nel punto

Segno della funzione

Segno della funzione >0

2 5 1 >0

2 5 1 >0 .

Per questo fattore abbiamo già gli zeri, quindi la funzione è positiva per valori esterni ad ed

La funzione esponenziale è invece sempre positiva in tutto il dominio

>0 ∀ ∈

Riportiamo il quadro dei segni.

Aiutiamoci con un primo grafico parziale della nostra funzione, in cui riportiamo il segno e i punti di intersezione A,B,C.

Limiti

I limiti da calcolare sono 2: lim→ Ilim→;I∞:

Procediamo con il limite a

lim 2 5 1 ∞ ∞ ⋅ I→ I

Osserviamo che il polinomio è di secondo grado, quindi è asintotico ad , possiamo allora scrivere:

lim 2 5 1 ≈ lim ⋅ ∞⋅ ∞ ∞→ I → I

La funzione non ammette alcun asintoto orizzontale a sinistra, è illimitata superiormente.

∞: 1

Passiamo a

lim 2 5 1 ∞ ∞ ⋅ ∞⋅ ∞⋅0I I→;I

Risolviamo la forma indeterminata applicando il teorema di De ’Hopital:

teoremaIl sui limiti di fu