Molla verticale in campo gravitazionale

Molla verticale in campo gravitazionale

Oscillazioni

Molla verticale in campo gravitazionale

Oscillazioni

Molla verticale in un campo gravitazionale uniforme

Consideriamo una molla di massa trascurabile e costante elastica K in un campo gravitazionale uniforme. Si supponga di fissare alla molla una massa m.

e) Si dimostri che quando la massa cade da x = 0, alla posizione di equilibrio statico x = ^mg/_K, l'energia potenziale gravitazionale persa si trasforma metà in energia potenziale elastica e metà in energia cinetica.

f) Si consideri infine il sistema in moto alla posizione d'equilibrio. Si calcolino separatamente la variazione dell'energia potenziale gravitazionale e dell'energia potenziale elastica quando la massa si sposta verso l'alto di un tratto A e quando la massa si sposta verso il basso di un tratto A. Dimostrare che la variazione totale dell'energia potenziale è la stessa nei due casi e cioè ¹/₂ KA²

e) L'energia del sistema resta costante durante il moto: si ha che:

K₀ + U₀ = K₁ + U₁

Poiché è nulla la velocità per x = 0 si ha K₀ = 0, in quanto la massa viene lasciata cadere. Poiché U = ¹/₂ kx² + mg(h - x) => U₀ = mgh e semplifica per x = ^mg/_k => U₁ = ¹/₂ ^m2g2/_k + mgh - ^m2g2/_k

U₁ = mgh - ^m2g2/_2k - mg(h - ^mg/_2k)

K₁ è l'energia cinetica del sistema. Essendo quindi mgh = ( ^mgk₁/) - ^m2g2/_2k + K₁

Da cui K₁ = ^m2g2/_2k = mg( ^mg/_2k). La energia gravitazionale persa si trasforma metà in energia potenziale elastica e metà in energia cinetica K₁.

f) Alla posizione d'equilibrio quando la massa si sposta verso l'alto di un tratto A, si ha una variazione dell'energia cinetica e dell'energia potenziale.