Meccanica analitica - esercizi svolti e richiami di teoria

Name: Meccanica analitica - esercizi svolti e richiami di teoria
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Author: alicezani96

Revisionato il 26/07/2026

di alicezani96

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Baricentro di un sistema meccanico di figure semplici e composte. Richiami teorici su momenti e matrici d'inerzia, formula di Huygens-Steiner. Esercizi vari svolti. Temi esame svolti. Momenti …

Esame Meccanica analitica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Musesti Alessandro

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2018-2019

73 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Richiami teorici sul baricentro

Definizione

Dato un sistema meccanico di n punti materiali di masse m_s (s=1, 2, ..., n), definiamo baricentro del sistema il punto avente vettore posizione

G = O:∑∗_s=1ⁿ m_s (P_s - O)∑∗_s=1ⁿ m_s = M_Tot

Se invece il corpo continuo occupa una regione E dello spazio E³, definiamo baricentro del corpo il punto avente vettore posizione

G = O =∑∗_E ρ(x) x dV / ∑∗_E ρ(x) dV =∑∗_s [ ∑∗_E ρ(x) x dV ] / ∑∗_E ρ(x) dV

Proprietà del baricentro

G = baricentro

G appartiene all'involucro convesso del corpo.
Se J è un piano di simmetria materiale (T è un asse, T¹), allora G ∈ Π (G ∈ T¹, G ∈ J).
Se le masse di un sistema materiale sono distribuite lungo una retta o lungo una superficie piana, allora il baricentro apparterrà a quella retta o a quella superficie piana.
Additività del baricentro: comunque si scomponga un sistema materiale nella somma di due sistemi, rispettivamente di massa m₁ ed m₂ e di baricentro G₁ e G₂, allora il baricentro G di tutto il sistema è dato da

G = O =m₁ (G₁ - O) + m₂ (G₂ - O)m₁ + m₂

Richiami teorici sul baricentro

Definizione

Dato un sistema meccanico di N punti materiali di masse m_i (i=1,2,...,N), definiamo baricentro del sistema il punto avente vettore posizione

G=O=

Se invece il corpo è continuo e occupante una regione E dello spazio E³, definiamo baricentro del corpo il punto avente vettore posizione

G=O=

Proprietà del baricentro

G appartiene all'inviluppo convesso del corpo.
Se J è un piano di simmetria materiale (T è un asse di T), allora G∈J (G∈T).
Se le masse di un sistema materiale sono distribuite lungo una retta o lungo una superficie piana, allora il baricentro appartiene a quella retta o a quella superficie piana.
Additività del baricentro: comunque si scomponga un sistema materiale nelle somme di due sistemi, rispettivamente, di massa m₁ ed m₂ e di baricentri G₁ e G₂, allora il baricentro G di tutto il sistema di massa m coincide con il baricentro del sistema formato dai due punti materiali (G₁, m₁) e (G₂, m₂)

G=O=

Casi particolari

Il baricentro di:

Un rettangolo omogeneo coincide con l'intersezione delle diagonali;
Un triangolo omogeneo coincide con l'intersezione delle mediane;
Una sfera o un cerchio omogeneo coincide con il centro della sfera o del cerchio.

Asta omogenea

AB = L, my_G = 0

x_G = x_G = ^{∫₀^L ρx dx}/_m = => G (^L/₂, 0)

Arco di circonferenza omogeneo

r = semicerchio (α = π/2) =>ρ = cost

x_G = 0

m = ρ2R

dy_G = Rcosθ

G = (0, ^Rsinα/_α)

Triangolo omogeneo

x_A = 0 x_B = a x_B = 6

ρ = cost _oA = a

m = _δ6/2

(y_B = 6 - ₆/a x

x_G = ₁/5 ∴ area Triangolo(₆^δ/2

x_C = 1/5(y dx dy

y = ₆/a x) dx

= _ρ/5 ׀6₆/- ₆/3

y_G = - ₆/3

= _ρ/5 (8 ⁶

= ₂([³]⁶

= ₂6

G(³/3 _δ²/3)

G( ³/3" ^δ/3"

Triangolo emiequilatero

(metà di un Triangolo equilatero)

A₀ = 2R m ρ = cost

O(x₀, y₀) Δ(x_A, y_A)

G(^{x₀ + x_A + x_θ})

y_B + y_A + y_B

G = (³∕3)

Triangolo vuoto formato da aste omogenee

y₀ + y_O = ρ

m₁ = m + m = ^δl·²

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