Baricentro esercizi per esame di Meccanica razionale

Baricentro

Ricorda

Baricentro per un corpo continuo

(G-O) = 1/m ∫_C ρ(P)(P-O) dρ

(G-O) = (x_G, y_G, z_G)

x_G = 1/m ∫_C ρ(P)x_P dρ

y_G = 1/m ∫_C ρ(P)y_P dρ

z_G = 1/m ∫_C ρ(P)z_P dρ

m = ∫_B ρ dν

Arco di circonferenza omogeneo

Raggio R

Apertura AÔB = 2α

ρ = cost.

y asse di simmetria

G(x_G, y_G) ?

Θ ∈ [-α, α]

ρ = m/v

m = ∫_C ρ dν = ρ∫^α_-α R dΘ = ρ 2Rα

Per simmetria x_G = 0

y_G = 1/m ∫_C ρ(P)y_P dρ

= 1/2Rρα ∫^α_-α ρ R cosΘ · R dΘ

= ρ/2Rρα ∫_-α α R² cosΘ dΘ

= R/2α [sinΘ]^α_-α = R/2α (sinα - sin(-α))

= R/α · 2 sinα

= R sinα/α

• Per l'arco AB: G (0, R sin α/α)
• Per la semicirconferenza α = π/2 e : G (0, 2R/π)

Baricentro

Ricorda

Baricentro per un corpo continuo

(G - O) = ¹/_m ∫_C ρ(P)(P - O) dP

(G - O) = (x_G, y_G, z_G)

x_G = ¹/_m ∫_C ρ(P) x_P dP

y_G = ¹/_m ∫_C ρ(P) y_P dP

z_G = ¹/_m ∫_C ρ(P) z_P dP

Nota: se ρ = cost.

G - O = ¹/_V ∫_C (P - O) dP

m = ∫_B ρ dυ

Arco di circonferenza omogeneo

Raggio R

Apertura AÔB = 2α

ρ = cost.

y asse di simmetria

x = R sinθ y = R cosθ

θ ∈ [-α, α]

ρ = ^m/_v

m = ∫_C ρ dυ

= ρ ∫_-α^α R dθ

= ρ 2Rα

Per simmetria x_G = 0

y_G = ¹/_m ∫_-α^α ρ(P) y_P dP

= ¹/_2Rρα ∫_-α^α ρ R cosθ ⋅ R dθ

= ^ρ/_2Rρα ∫_-α^α R² cosθ dθ

= ^R/_2α [sinθ]^α_-α

= ^R/_2α (sinα - sin(-α))

= ^R/_2α ⋅ 2 sinα

= ^R/_α sinα

= R sinα/_α

• Per l'arco AB : G (0, ^{R sinα}/_α)
• Per la semicirconferenza α = ^π/₂ e : G (0, ^2R/_π)

Settore circolare omogeneo

Raggio R

Apertura AÔB = 2α

y asse di simmetria

G(x_G, y_G) ?

Θ ∈ [-α, α]

|ρ - O| = ρ ∈ [0, R]

m = ∫_C ρ dν = ρ ∫₀͏^R_-α͏^α z dz dΘ

= ρ ∫₀͏^R z 2α

= ρ z α · R² = ρ α R²

Per simmetria x_G = 0

y_G = ¹/_m ∫_C ρ(ρ) up

= ¹/_ραR² ∫₀͏^R_-α͏^α z cos Θ · z dz dΘ

= ¹/_αR² ∫₀͏^R z² dz ∫_-α͏^α cos Θ dΘ

= ¹/_αR² · 2 sin α · ^R3/₃

= ^2R/₃ sin α/α

• Per un settore circolare AB : G(0,²/₃ R sin α/α)
• Per un semicerchio α=π/2 : G(0, ^4R/_3π)

Nota: Se l'apertura AÔB=φ allora Θ ∈ [^−φ/₂, ^φ/₂]

z ∈ [0, R].

Nel caso del semicerchio φ=π

Semidisco non omogeneo

Raggio R

ρ(P) = k (1 + ¹/_Rφ)

P punto del semidisco, k > 0

G (x_G, y_G) = ?

{(r, θ) ∈ R²: r ≤ R, θ ∈ [ -^π/₂, ^π/₂ ]}

Per simmetria x_G = 0

m = ∫C ρ(P) dv == |R0 | π/2-π/2 k(1+1/R φ) · r drdθ

= |^R₀ ∫

= | π/2-π/2 kr + kr/R r drdθ

= |^R₀ (kr · π + k^r2/_R π) dr

= ^πk/_R |^R₀ r dr + ^πk/_R |^R2₀