Geometria delle masse

Geometria delle masse

Massa: è una proprietà intrinseca dei corpi legata alla quantità di materia e rappresentata da uno scalare (m).

Le masse alla sua geometria, parliamo di un corpo come punti con masse m_i dedicato con (P, m), come sistema di masse puntiformi se formato da un insieme finito o infinito numerabile di masse puntiformi, o come vera distribuzione continua (C):

M = ∑_i=1ⁿ m_i insieme finito di masse (m ∈ ℕ)

M = ∑_i=1^∞ m_i infinito numerabile

M = ∫ ρ(P) dL corpo continuo

ρ = funzione scalare che c'è se c'èpece l'esistenza per ogni corpo esteso, cioè la densità di massa.

ρ = cost C è uniforme (omogeneo)

Baricentro

Baricentro (CM): pto geometrico G interno o esterno ad un corpo di massa M tale per cui:

G - O = &frac;1;&u;_i=1ⁿ m_i(A_i - O) sistema finito di masse

G - O = &frac;1;&u; ∫ ρ(P)(P - O) dL continuo

Geometria delle masse

Massa: è una proprietà intrinseca dei corpi legata alla quantità di materia e rappresentata da uno scalare (m).

Le rose alla sua geometrica, parliamo di un corpo come puntiforme con massa m, indicato come (P,m), come sistema di masse puntiforme se formato da un insieme finito o infinito numerabile di masse puntiformi, o come vera distribuzione continua (C):

dM = ρ(P)dL

ρ = funzione scalare ogni caso si sceppione l'esistenza per ogni corpo esteso, cioè la densità di massa.

ρ = cost <=> (C) è uniforme (omogeneo)

Baricentro (CM): pto geometrico G interno o esterno ad un corpo di massa m tale per cui: dove il pto O è un pto arbitrariamente fissato.

Chiaramente:

_xG = ¹⁄_m ∑_i=1^N m_i x_i

_xG = ¹⁄_m∫ x dℓ_yG ;_zG ;

Osservazioni: Se tutti i punti del corpo appartengono a una retta o un piano anche G vi apparterrà. Se il corpo è delimitato da una superficie convessa allora G è interno. Se esiste un piano σ di simmetria geometrico-materiale per il corpo allora G ∈ σ^G_EO(ipotesi:∃σ piano di simmetria per C)

Dimostrazione sul piano di simmetria

Dimostrazione:(ipotesi:∃σ piano di simmetria per C )(Tesi:G ∈ σ )

Il fatto che σ sia piano di simmetria geometrico-materiale significa che esistono due punti di massa m_i identica (P_i, m_i), (Q_i, m_i ) ∈ C equidistanti da O. Ponendo σ a quota nulla in un solo Oxyz (senza perdita di generalità), cosicché σ ≡ Oxy , si ha che :

P: (x_i, y_i, z_i) Q: (x_i, y_i, z_i) i = i = {1, 2, ..., N}

Σ_i=1^N m_i(z_i = 0 m_iz_i) = 0 => GEOxy = 0

per definizione di baricentri

per ipotesi => GEO

Corollario sul baricentro

Corollario

Se un corpo ha due piani di simmetria geometrica materiale G si trova sulla retta d'intersezione, se ne ha tre G coincide con il loro punto d'intersezione.

Se in componenti di un corpo, ciascuno delle quali possiede un baricentro G_i, il baricentro G del corpo si assume come CM degli M centri di massa delle componenti.

Momento d'inerzia

Momento d'inerzia

A livello fisico si tratta della resistenza al che un corpo offre alla rotazione, è espresso dallo scalare:

sistema di n pti (p_i, m_i) a distanza R_i dal centro di rotazione.

o continui di densità S(P) ∀ P ∈ C

Si parla di momento d'inerzia polare quando la rotazione avviene rispetto ad un punto e non ad un asse.

Se durante la rotazione i punti (P_i,P_m) variano la propria distanza dal centro e la direzione: I=I(t) (poiché R=R(t)). Un corpo per il quale ciò non accade ha un I costante nel tempo e si dice rigido.

Calcolo dei momenti d'inerzia

Calcolo dei momenti d'inerzia

Teorema di Huygens-Steiner

Si consideri un corpo rotante attorno ad un asse non corrispondente all'asse baricentrico (G;I_G); allora, noto il momento I_G rispetto a (G;I_G) e la distanza dell'asse di rotazione dalla retta baricentrica, d, si ha che:

I = I_G + Md²

Dimostrazione del teorema di Huygens-Steiner

Dimostrazione

Siano:

Oz l'asse rispetto cui se vale calcolare I

Gz' l'asse baricentrico rispetto a cui è noto I_G

d la distanza tra O e G.

Siano inoltre Oxyz; Gx'y'z' tali per cui gli assi y, y' giaciano sulla stessa retta.

Allora in un p.to (P_i, m_i): P_i ≡ (x, y, z), (x'_i, y'_i, z'_i) con

y = y' + d si ha che :

I₃ = ∑^N_i=1 m_i (x_i² + y'_i ²) = ∑^N_i=1 m_i (x'_i + y)²)+ m_i ( x_i² + y'_i²+ z_i², x'_i =x_i, y'_i =y_i,+ mz_i² ] = ∑^N_i=1 mi (x_i² + y'_i²) + 2d ∑^N_i=1 x_i + d² ∑^N_i=1 m_i

= ∑^N_i=1 m_i x'_i² + Md² + 2d ∑^N_i=1 m_i y_i

I_G + Md²

distanza IP-GI

Definizione: coseni direttori

Definizione: Coseni direttori

Si dicono Coseni direttori di una retta τ = (P₀, &hat;r)

I coseni degli angoli che una retta con gli assi cartesiani di un sist arbitrario

Oxyz e sono in valore sempre uguali alle cose proiettati

del vettora &hat;n

l, m, p = coefficienti direttori di τ

n^{^} = ( l/√(l²+m²+p²), m/√(l²+m²+p²), n/√(l²+m²+p²)

=> \[ν\] = cos ( τ x)= cos ( τ xy)= cos ( τ x' z)

Teorema del momento d'inerzia rispetto a una retta

Teorema

Il momento d'inerzia di un sistema rispetto alla retta (o,e̅) è vale:

I = Aα² + Bβ² + Cγ² - 2Aαβ - 2Bβαγ - 2Cβγ

dove A, B, C sono i momenti rispetto agli assi x, y, z e:

A = Σ_i=1^N m_ix_iy_i, B = Σ_i=1^N m_ix_iz_i, C = Σ_i=1^N m_iy_iz_i

si dicono momenti centrifughi.

Dimostrazione del teorema

Dimostrazione

Sia:

p_i - o = x_iî + y_iĵ + z_ik̂ p_i(x_i, y_i, z_i)

Sì ha che:

e̅ = αî + βĵ + γk̂

[î(α,β,γ) | ĵ(α,β,γ) | k̂(α,β,γ)]

Σ_i = (p_i-o) x e̅ = | î ĵ k̂ || x_i y_i z_i | = (γy_i - βz_i)î +

| α β γ |(αz_i - γx_i)ĵ + (βx_i - αy_i)k̂

d( P_i, (o,e̅) )

Σ_i = Σ_i=1^N m_iz²_i

Definizione di tensore d'inerzia

Definizione

Si dica Tensore d'inerzia tra i casi di resistenza precedenti, si ha che:

I = ⟨a, a⟩

con

J = \[ \begin{pmatrix}A & -A' & -B' \\-A' & B & -C' \\-B' & -C' & C \end{pmatrix}\]

a = \[ \begin{pmatrix} \\B \\ \end{pmatrix}\]

Osservazione:

J è una matrice simmetrica definita positiva.

Ellissoide d'inerzia

Ellissoide d'inerzia

Il calcolo di I attraverso l'ellissoide d'inerzia associato ad un corpo continuo C è equivalente a quello con i momenti centrifughi, esso fornisce anche un'interpretazione geometrica.

Definizione

Si definisca Ellissoide d'inerzia (O₁) l'ellissoide di equazione:

\[ A x²_{₁} + B y²_{₁} + C z²_{₁} - 2 A' x_{₁} y_{₁} - 2 B' x_{₁} z_{₁} - 2 C' y_{₁} z_{₁} = 1 \]

Teorema sull'ellissoide d'inerzia

Teorema

Sia C posizionato in un solo Oxyz, e sia (O₁) l'ellissoide d'inerzia ad esso associato.

Allora il momento d'inerzia di ℓ rispetto ad una qualunque retta (α₁, α) è:

I = ¹/_α1‖ℓ²

con L = uno dei due pt. d'intersezione di (α₁, α) con E(α₁)

Dimostrazione:

Si tenga presente che esistono due pt. dell' ellissoide intersecati da (α₁, α).

Dalla geometria dello spazio è noto che, siano L = (x₁, y₁, z₁) e α, β, r esseri direttori di (α₁, α):

^x₁/_α = ^y₁/_β = ^z₁/_r⇒ y₁ = ^β/_αx₁ ; z₁ = ^r/_αx₁

⇒ {ξ ∈ E(α₁) ∩ (α₁, α)

def. ellissoide d'inerzia

⇒ Ax_α² + B ^β2/_α²x_α² + C ^r2/_α²x_α² − 2A'^β/_αx_α² − 2B'^r/_αx_α² − 2C'^βr/_α²x_α² = 1

⇒ Aα² + Bβ² + Cr² − 2A'βα − 2B'ρα − 2C'βr = ¹/_xα²

=> I = _l²/_x1² => x₁² = _l²/I

teorema del tensore d’inerzia

=> O_I² = x₁² + y₁² + z₁² = _l²/_I + _β²/_d² + _r²/_I + _r²/_l² = _{l²/β² + γ²/c²}/I

y₁ = β/(_{d r}), z₁ = r/(_{l x1})

= ₁/_I => I = ₁/_OI²l²

Osservazioni sull'ellissoide

Osservazioni

Cambiando l’origine O cambia l’ ellissoide. Cambiando gli assi cartesiani cambia l’ equazione dell’ ellissoide, può cambiare il tensore d’ inerzia, essa vera l’ ellissoide stesso.

E(O_I) è definibile per ogni corpo rigido, con l’ eccezione dell’ asta per la quale degenera in un cilindro con asse di rotazione coincidente con l’ asta stessa (poiché, se l’ asta coincide con l’ asse O_x, è x₁ = y₁ = 0 => C = 0).

Assi principali d'inerzia

Assi principali d'inerzia

Di tutte le terne Oxyz che si possono scegliere in riferimento ad un qualsiasi continuo C ne esiste una preferenziale, quella i cui assi coincidono con quelli associati ad O.

Per questa terna di assi, infatti, l'equazione dell'ellissoide è:

A x₁² + B y₁² + C z₁² = 1

⇒ il tensore d'inerzia si diagonalizza, ovvero:

J = ( A 0 0 ) ( 0 B 0 ) ( 0 0 C ) Poiché A' = B' = C' = 0

Scegliere come assi d'inerzia gli assi principali da convenienti ne consegue: per determinarli a priori si assume che J sia non diagonale; sia i₁, i₂ tali assi hanno le direzioni degli autovettori, v₁, v₂, v₃ associati agli autovalori di J, cioè λ₁, λ₂, λ₃.

N.B. Gli autovalori λ sono le soluzioni dell'eq.:

det ( J - I_mI ) = 0

J∈M(3,R)

(J - λI_i)ω_i = 0

i = 1, 2, 3

Si può dimostrare (non cedo lo faremo) la validità dei seguenti teoremi:

• O_x, x₁ è asse principale d'inerzia ⟺ A' = B' = 0
• O_y, y₁ è asse principale d'inerzia ⟺ A' = C' = 0
• O_z, z₁ è asse principale d'inerzia ⟺ B' = C' = 0

Teorema sugli assi principali e il piano di simmetria

Teorema:

Se un contorno C ha un piano od di simmetria geometrico-materiola, allora ogni retta ad esso perpendicolare e passante per O_a è asse principale d'inerzia.

Dimostrazione

Per definizione di simmetria geometrico-materiale, dati due pti P_i(x_i, y_i, z_i), Q_i(x_i, y_i, -z_i) e la retta O_z, l' O^a, P_i e Q_i hanno eguali massa m_i e sono equidistanti da σ. Detta ρ, per come sono definiti i momenti centrifughi B' e C' si ha che:

B'_c = ∑_i=1^N m_i x_i z_i²

C'_c = ∑_i=1^N m_i y_i z_i²

=> per somma di termini uguali e opposti

E(O₁): Ax² + By_c² + Cz² - 2A'x_y1 z = 1

=> ellissoide simmetrico rispetto a O_xy_z

-> O_x, z₁ è asse principale d'inerzia

Corollario sugli assi centrali

Corollario:

Se Oè ha 3 piani di simmetria g.m., la loro intersezione corrisponde geometricamente col baricentro G. Le tre rette d'intersezione corrispondono agli assi d'inerzia relativi a G e l'ellissoide ad esso associato si dice Ellissoide centrale. Gli assi di tale ellissoide ed i momenti d'inerzia rispetto ad essi si dicono centrali.

Teorema: calcolo dei momenti centrifughi

Teorema: Calcolo dei momenti centrifughi.

Il seguente teorema è l'equivalente di quello di Huygens-Steiner per i momenti centrifughi:

Noti i momenti A_g, B_g, C_g rispetto al baricentro G di cui riferimento materiale, si ha che i momenti rispetto ad un punto O sono dati da:

A'₀ = A'_G + M_xGg

B'₀ = B'_G + M_yGg

C'₀ = C'_G + M_yGg