Appunti di meccanica razionale

Prodotto scalare

Iblal cosa> --✓Ioa È✗ = \ Ioi bit azlozt 103> ai ai= a >i 1-_

Vettoriale prodotto

tanto /aTiano /=/ al DI serra= llalnb }) )(lo( adi Csan Ca42 Cn} == = , ,a 102 lolor ]a j dibz club0263 9162 certoCgCz↳ a a= --- =] ,>= >

Prodotto misto

- - - -- -- - ;- -. Un Az. 43.. "i loranbxc lobe= }. ... . .. . . CCzci✓ 3'c ✓... .. .. // anbxc=b iia

Doppio vettoriale prodotto

b) ( c) c)(( b- b1Can ✗a ✗ a= c) b)anton c) ( (loa ea ✗✗= -

Calcolo matriciale

( :X :|( :÷ :)¥ :Aij VjWi Asian Ar=} }= À

A simmetrica

a• è= at a

A anti simmetrica

è• = -↳ antisimmehica anA-se 0è v ✗ =Atv

Proprietà

aw=) Wvx ✗= di

Simmetrica A tuttiha autovaloriè realigli• zzata' diagonalipuo essere•↳ ] base ostonormole diuna allarispettoautomotori Adi , rappresentareA puòquale si informa diagonale:|¢

Forma diagonale

:: a. AO0 ]

Prodotto tensoriale

tra ~ we( )v1Ne v1W Wz W1 3 )(N W✗ v2 Newsv2 Wzun vi Wj= =v3 v3 WZ V3 WV1 3

Matrice positiva definita

}A di >> v70o °vv• ✗avxr• o ~ o<= =

Matrice negativa definita

Didi}tv (a >-1-0 0<• ovxr -anxn < oo ~• ==

Ogni matricematrice B diesprimibileè somma unacomeANTImatrice aSIMMETRICA di SIMMETRICAS unae ){ (È èS +☐=B Sta con= { )A- ( ÈB= -( a)Bvxv Svxv SAvèneSt vxr ✗+ ~-===

Verificare che una matrice sia definita secondo

• 1) Criterio degli autovalori tutti d-autovalori definitapositivi positivagli èsonotutti definitaa negativaautonomi negativi ègli sono
• 2) )Criterio (Sylvester principalidi minoridei tutti definitaa positivapositivii èminori principali sonotutti Anegativi definita negativai principali èminori sono

Rotazione matrici di

{RTR ①I=R rotazionedicematrice di <siuna ②detp 1=RTR

• 1) I ruotatosettoredelil modulo quindi ugualeè= finaleal del vettoremodulo

Dimostrazione

=/IWIRv v1=)Wsia R allorarotazionematrice di se =,dimostrarlo il moduloconsiderareper quadroconviene' ?? RTR)WI (/ v2RvxrvRnW rxv vxv= = ==

• 2) Rdit 1R ortonormakbaseapplica levogirasise unaa= ,la base levogiraruotata è sempre

Simbolo di Kronecker

{ ( §La )§ ( )^ 1 0 0'iSig se = },S I1Sr SSa o °= ===. . ». 1SSsa Ssa0 i f- °j °se »

Vettori applicati

Momento polare

n MI!→ 7QanirMa =è al diinvariante variarert lalungo d' applicazionesettasua ÈÀa aainùiIamomento di →polare =un ÀàÀa ÈÀanMadistribuzione Qdialdi +→variare =

Invariante scalare

MaI R dipende dal Q✗ polonon=

Scomposizione polare del momento

Àa Ùai EÀÈ: + ==ii. pi↳FÈ ÈMI' indipendenti dal- poloit i. a

Asse centrale

a.i Ì"• ; ; È Àotrr% ✗ ☒d- ^ c-= ,;ii. 'i - . .

Momento assiale

ÀaMr mi✗=

Teorema Varigdi

Non[Se ho formato (da incidentivettori applicati concorrentióun a a) allorastesso puntoin uno Q•aÈÀa ,•aa ^ È= :-.'faro imail vettore scorrerevi A èaatnvi ,! ÈÈÀa QA nni --= ,I n ÈE. QanQan vi ==

Coppia vettori di applicati

{ }Air ' i ) ilanni( ( Ar -"TÌ , .! èa. Ri v ✓ o= =-←•[ ._- -- - .-- --- dal7 indipendentemomento polo? .ù ... /IÀ. / AzaelM lo. . v Sima v= =-. -= -. a-.. braccioÀ Èb- il dellav. normale al coppia= piano= versare

Elementario perazioni

• (1) )IÀI/aggiungere bracciotogliere 0didi nullo =coppie à•%2) Risultante =Scorrimento
• 3) lungo retta d'ladel vettore applicazioneÈ ---itB÷-.-

Sistemi equivalenti

Ia altroE dall' all' solopassareposso' se= unoa elementarioperazioniconSistema traccia sistema riducibile dicedidi nullacoppie asi Ia// <

Sistema equilibrato nullo

zero O=

Teoremi riducibilità di

• 1) nelIa )() (Anni vi( AsAa= ,, ,,# assegnatiqualunque }
• {2) ( ArielIa )anni(= ,assegnato↳ determinato dallaqualunque geometria>
• { ])(3) Ia ùA + coppia= , ,{ segnato ↳qualunque (È> si -2AMa momento didelM partenza= = a)polorispetto al

Teorema equivalenza di

È{ 'E-:<-2 toE = ÀF. ;={E- Ò toIa <o= ii. Ò=Considerando terzo lail teorema scelta ottimaledi riducibilità ,del D- centralea èpolo c- asse↳ a apdo-c-I-eae vet .cn/ri-polo[ qualsiasia coppiaÀÈÒa) I Nett di-1-0 + coppiaapp minimo., . moduloÈb) qq.tcoppianett.app.IM?- )Ó-1-8,1=-0 sett. ✗È ☒Òc) I centrale-1-0 Coppia asse-_ , dicoppia ✗È ☒d) Ó I centralebraccio nullo-0= - asse, (Ea )Iit

Vettori di piani applicati

È ÀMa I1- oIT × == d) della tabellab) c)soloverificare sopracasiisi possono ,, ( )Ea Ip

Vettori di paralleli applicati

Èùi Èù Rùvi= =i 1=m ÈIÈaiutiÈMo vini vioainììdai ^o= = =, ÉvioainùMI È RùI ×✗ o= == i 1= d)verificare b) c)solopossonosi i casi , ,

Centro Itdi un Èin[ fa✗ ✗ i=eȧ0C oaivi= Èf- vivi. = Èf-Zc vizi= ,

Baricentro

{ }( )Ps sistemaS discreto punti materiali1Ms diin= , . .. ,, ,

Proprietà massa della

• 1) 70ScalareM ini
• 2) stato cineticoindipendenti dallo
• 3) delda trasformazioni Sistindipendente di coordinate.
• 4) additiveproprietà

Sistema continuo

//f fGI ( ) da dmLI (him ) du9P pmedia = = ==su > duo./ dv9 )(m p= ✓

Definizione baricentro di

È ¥m Èeikmiopi& < 06dai0C vi == , ( È1m✗ vixi• =È1m06 miopi= Èin1mYo, Yi= È[Per viziZasist continuo =un ; ,. }1-2 → £ { fflpldvPdv919006fdm )( mdvms p =→ ==0ps op→[ ({ )1m 'fxdv costSE✗ IL f-ECORPO omogeneog -= {{ f-1m{ Ydv opdv1m 9 opdv06906 == .= {1m fzdvZg =

Criteri ubicazione di

• 1) Se tutti punti sistemadi alloramaterialei giaccionoun ,baricentroil taleappartiene pianoa
• 2) Se di materiali dasistemail punti racchiusoè unaallora baricentroilsuperficie esternamentecadeconvessa non,alla superficie
• 3) Se trovano tuttipunti di sistema materiale sii un unsuallorasegmento baricentroil esternamente alcadenon,segmento
• 4) Se suddivisibilematerialesistema 'è fartiin piuun ,datoallora baricentrobaricentro dalil baricentroè deisuo .
• 5) Se dato puntidi materialisistema possibile individuareèun ,, baricentroallora suldiametrale il cade pianopiano .un ,diametrale )(

Momento statico

rettarispetto runaa poi a8 > o Alana )anima"/ - -SolaSr = Scoa ri -a -• _ _↳Per Sdr A:un" ( fyda^ ( sxda =>ppà