Prodotto Scalare, Matrice Invertibile, Determinanti e Proprietà delle Matrici (Teoria + Esempi)

Prodotto scalare in Kⁿ

08/04/2020

Siano (x₁, x₂, ..., x_m), (y₁, y₂, ..., y_m) ∈ K^m, m definisce prodotto scalare standard tra essi e l'elemento del campo K così definito:

(x₁, x₂, ..., x_m) · (y₁, y₂, ..., y_m) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_my_m = ∑_k=1^m x_ky_k ∈ K

Dunque il prodotto scalare standard in K^m è un'applicazione:

K^m x K^m -> K

Esempi

1. In K⁴ (1, -1, 2, 4) · (2, -3, -1, 1) = 2 + 3 - 2 + 1 = 4
2. In K³ (3, -1, 0) · (2, 5, -1) = 6 - 5 = 1

Prodotto scalare in K^m

08/04/2020

Siano (x₁, x₂, ..., x_m), (y₁, y₂, ..., y_m) ∈ K^m, m definisce prodotto scalare standard tra essi e l'elemento del campo K così definito:

(x₁, x₂, ..., x_m) · (y₁, y₂, ..., y_m) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_my_m = ∑_k=1^m x_ky_k ∈ K

Dunque il prodotto scalare standard in K^m è un'applicazione:

· : K^m x K^m -> K

Esempi

1. In K⁴ (1, -1, 2, 1) · (2, -3, -1, 1) = 2 + 3 - 2 + 1 = 4
2. In K³ (3, -1, 0) · (2, 5, -1) = 6 - 5 = 1

Prodotto righe x colonne

(1 0 1)(2 -1 0)(0 1 -3)(1 2)(0 -1)(2 1)(3 3)(2 5)(-6 -4)

Esempio:

(2 1)(3 0)(-1 -2)(3 1 4)(0 -1 1)(6 1 9)(9 3 12)(-3 1 -6)

Esercizio

Calcolare:

1. (1 -3)(3 5)(0 2 -2)(1 3 5)(-2 -4 -12)(5 21 19)
2. Posto A = (1 0 1)(0 1 0)(0 0 0) calcolare A² = A . A. A² = A (A matrice idempotente)
3. A = (1 0)(2 -1)(1 4) B = (3 1 0)(2 -2 1) A . B = (1 0)(2 -1)(1 4)(3 1 0)(2 -2 1)(3 1 0)(4 -1)(11 -7 4) B·A = (310 010 / 2-21) · (10 / 2-1 / 14) = (5-1 / -16) 3 + 2 = 5 0 - 1 + 0 = -1 2 + (-2) 2 = -1 + 2 - (1 + 1) = -1 0 + 2 + 4 = 6
4. (1-21 / 02-1 / 301) · (1 / 3 / 1) = (-2 / 3 / 4) 1 - 4 + 1 = -2 0 + 4 - 1 = 3 3 + 0 + 1 = 4
5. (cos θ -sin θ / sin θ cos θ) · (cos θ sin θ / -sin θ cos θ) = (10 / 01)
6. (cos α -sin α / sin α cos α) · (cos β -sin β / sin β cos β) = (cos(α + β) -sin(α + β) / sin(α + β) cos(α + β))

Non sempre è definito il prodotto righe x colonne tra matrici

Siano A, B due matrici:

A·B definito => # di elementi su ogni riga di A = # di elementi su ogni colonna di B <=> # di colonne di A = # di righe di B <=> A è di tipo m x m e B è di tipo m x p

(a₁₁ a₁₂ ... a_1m / a₂₁ a₂₂ ... a_2m / ... / a_m1 a_m2 ... a_mm) · (b₁₁ b₁₂ ... b_1p / b₂₁ b₂₂ ... b_2p / ... / b_m1 b_m2 ... b_mp) = (c₁₁ c₁₂ ... c_1p / c₂₁ c₂₂ ... c_2p / ... / c_m1 c_m2 ... c_mp)

Posto C = A·B, m ha che C è di tipo m x p. Quindi il prodotto righe x colonne è un'applicazione.

∴ K^m,m x K^m,p -> K^m,p

Posto C = A·B, dove A è di tipo m x m, B è di tipo m x p consideriamo

c_ij = (riga i-esima di A)·(colonna j-esima di B) == (a_i1, a_i2, ..., a_im) · (b_1j / b_2j / ... / b_mj) = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_imb_mj = ∑_k=1^m a_ikb_kj

=> c_ij = ∑_k=1^m a_ikb_kj

Sia M_m(K) = {matrici quadrate m x m} = K^{m m}

Se A, B ∈ M_m(K) => A - B ∈ M_m(K), quindi:

• M_m(K) x M_m(K) -> M_m(K) è un'operazione interna, inoltre in M_m(K) è già definita l'operazione interna di addizione

+ : M_m(K) x M_m(K) ->