Prodotto Scalare, Matrice Invertibile, Determinanti e Proprietà delle Matrici (Teoria + Esempi)

Prodotto scalare in K^m

Siano (x₁, x₂, ..., x_n) (y₁, y₂, ..., y_n) ∈ K^m, si definisce prodotto scalare standard fra essi l'elemento del campo K così definito:

(x₁, x₂, ..., x_n) · (y₁, y₂, ..., y_n) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_my_m = ∑_k=1^mx_ky_k ∈ K

Dunque il prodotto scalare standard in K^m è un'applicazione:

K^m x K^m → K

Esempi

• In K⁴ (1, -1, 2, 1) · (2, -3, -1, 1) = 2 + 3 - 2 + 1 = 4
• In Kⁱ (3, -1, 0) · (2, 5, -4) = 6 - 5 = 1

Prodotto scalare in K^m

Siano (x₁, x₂, ..., x_m) (y₁, y₂, ..., y_m) ∈ K^m, si definisce prodotto scalare standard tra essi l'elemento del campo K così definito:

(x₁, x₂, ..., x_m) · (y₁, y₂, ..., y_m) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_my_m = ∑_k=1^m x_ky_k ∈ K

Dunque il prodotto scalare standard in K^m è un'applicazione:

K^m × K^m → K

Esempi

• In K⁴ (1, -1, 2, 1) · (2, -3, -2, 1) = 2 + 3 - 2 + 1 = 4
• In K² (3, -1, 0) · (2, 5, -1) = 6 - 5 = 1

Prodotto righe x colonne

( ₁ 0 _-1 0) ( ³ 4 ⁰ -1) = (₃ 3) => ((₄ ³ 0 ^-1 -3) ) ³ 3 3_x2 3_x2 3_x2

Esempio

( 2 ₃ 0 -2 ) ( 3 ^{4 0} 1) = ( ⁶ 4 9 4 ^{-3 -1} 3_x2 2_x3 3_x3

Esercizio

Calcolare:

• (_-3 5) ( 0 _-2 ³ 4 ) = (_-2 -4 _-1 ¹⁹)
• 0 + (-2) = -2
• 4 × (-2) = -<6 + 2 = 6
• 5 × 2 = 4
• Posto A = ( 1 0 1 ) calcolare A² = A • A^A2=A (A matrice idempotente)
• A = ( (0 0 12 _-1 4 0 _-4 2 1 ) = ( 3 ¹ 0 A_B )(⁴ 0 4 2...=10 1 -1

Scansionato con CamScanner

B · A = 3 42 21 02 15-1463 2 = 54 - 1222 (2 - 3) = 2 = 4 - 1 =1 uλλλ3-203λ - 403λ = -2+ 4 =-2+ λ = 2

Non sempre è definito il prodotto righe x colonne tra matrici

Siano due matrici.

A, B

Ai BiCjk=1⇒CCij =

Sia _m(K) = {matrici quadrate m x m} : r ∈ K^mm

Se А, В Є H_m К) => А . В Є Н_m( К), quindi: _m( К х_m( К) = _m(K) e un'operazione interna, infatti in Н_m( К) e già definita l’operazione interna di addizione[ Н_m( K) х Н_m ( К), +, •) e un anello, ovvero: 1 ) ( Н_m( К), +) è un gruppo abeliano; 2) • e un'operazione associativa, 3) Valgoma le leggi distributive: (A+B) C=A-C+B-C ~ (A (B+C) = A · B+ A -C V А, В С EН_m( К ).

Che la struttura H_m( К), +) sia un gruppo abeliano è già noto, essendo H_m( К ) uno spazio vettoriale, che campo К Verifichiamo.

La proprietà associativa rispetto al prodotto righxcolonnaeStiamo *A*B*C ∈ H_m(K) Bisogna dimostrare che l’elemento generico diposizionejp della matrice A (B+C) coincide con elementa di posizione _5 della matrice A-(B-C).

[A(BoC)t_ijis = =Σ >= Σ