Matrice associata all endomorfismo rispetto alla base canonica

Matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica, base di autovettori

Matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica, base di autovettori

Si consideri l'endomorfismo f di R³ così definito: f(3,1,0) → (3,5,0), f(2,1,0) → (2,4,0), f(0,0,1) → (0,-1,1).

• Scrivere la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica di R³;
• Stabilire se f è iniettiva e/o suriettiva;
• Determinare, se possibile, una base di autovettori per f.

Matrice associata

a) Dalle condizioni date segue:

{f(3ϵ₁ + ϵ₂) = 3ϵ₁ + 5ϵ₂ ⟺ 3f(ϵ₁) + f(ϵ₂) = 3ϵ₁ + 5ϵ₂}

{f(2ϵ₁ + ϵ₂) = 2ϵ₁ + 4ϵ₂}  ⊟  {2f(ϵ₁) + f(ϵ₂) = 2ϵ₁ + 4ϵ₂}

{f(ϵ₃) = -ϵ₂ + ϵ₃} ⟺ {f(ϵ₃) = -ϵ₂ + ϵ₃}

Da cui la matrice A associata ad f è:

A =
1  0  0
1  2  -1
0  0  1

Iniettività e suriettività

b) Ora det A ≠ 0 ⇒ f è un isomorfismo.

Autovalori e autospazio

c) Per stabilire se esiste una base di autovettori, ossia se f è semplice, determiniamo gli autovalori di A considerando il polinomio caratteristico:

p_A(λ) = det(A - λI) = | 1-λ   0       0 | 1    2-λ  -1 |  = (2-λ)(1-λ)²| 0       0    1-λ |

Si ha quindi l'autovalore λ = 2 con molteplicità algebrica 1 e l'autovalore λ = 1 con molteplicità algebrica 2.

Determinato l'autospazio V(1) per controllare se la molteplicità geometrica di λ = 1 coincide con quella algebrica.

⃗ ∈ (1) ⟺ (0  0  0
1  1  -1
0  0  0) (x y z) = (0 0 0)

⃗ ∈ (1) ⇔ x + y - z = 0 ⇔ ⃗ = (x, y, x + y)