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Endomorfismo: matrice associata, f semplice, base di autovettori

Si consideri l'endomorfismo f di R3 così definito:

f(1, 2, 1) = (-2, -4, -2), f(1, 1, 1) = (-1, -2, -1), f(0, 0, 1) = (1, 0, -1).

  • Scrivere la matrice associata A ad f rispetto alla base canonica;
  • Stabilire se f è semplice;
  • Determinarci, se possibile, una base di autovettori per f.

a) Matrice associata

Dalle condizioni date segue, da cui la matrice A associata ad f è:

-1 -1 1
0 -2 0
1 -1 -1

b) Verifica se f è semplice

Per stabilire se f è semplice calcoliamo gli autovalori di A considerando il polinomio caratteristico:

pA(λ) = det(A - λI) =

1 1 1
0 -2 - λ 0
1 -1 -1 - λ

= -λ(λ + 2)2.

Si ha quindi l'autovalore λ = 0 con molteplicità algebrica 1 e l'autovalore λ = -2 con molteplicità algebrica 2. Determiniamo l'autospazio V(-2) per controllare se la molteplicità geometrica di λ = -2 coincide con quella algebrica.

x ∈ V(-2) ⇔

1 -1 1
0 0 0
1 0 -1

x ∈ V(-2) ⇔ x - y + z = 0 ⇔ x = (y - z, y, z).

Poiché dim V(-2) = 2 l'endomorfismo è semplice.

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Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
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