Trasformazioni matrice endomorfismo simmetrico

Trasformazioni matrice, endomorfismo simmetrico, forma bilineare, piani perpendicolari e vettori. Trasformazioni matrice, endomorfismo simmetrico, forma bilineare, piani perpendicolari e vettori.

1) Trasformazioni sulla matrice completa

Quale tra le seguenti trasformazioni sulla matrice completa (A|B) associata ad un sistema di equazioni lineari può dare origine ad un sistema che ha soluzioni diverse da quello di partenza?

• La sostituzione di una colonna con la somma della stessa con un'altra colonna moltiplicata per \( k \in \mathbb{R}, k \neq 0 \)
• Lo scambio di due righe.
• La moltiplicazione di una riga per una costante positiva non nulla.
• La moltiplicazione di una riga per \(-1\).
• La sostituzione di una riga con la somma della stessa con un'altra riga.

Operare sulle colonne scambia le incognite e porta a soluzioni diverse.

2) Endomorfismo simmetrico

Sia \( f: V \rightarrow V \) un endomorfismo simmetrico di uno spazio vettoriale euclideo \((V, g)\). Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• Le radici del polinomio caratteristico di \( f \) sono tutte reali
• Per ogni \( \vec{v} \in V \quad ||f(\vec{v})|| = ||\vec{v}|| \)
• Il coseno dell'angolo tra due vettori \( \vec{v}, \vec{w} \) è uguale al coseno dell'angolo tra \( f(\vec{v}) \) e \( f(\vec{w}) \)
• \( f \) è un isomorfismo
• \( f \) ammette gli autovalori \(\pm1\)

È una proprietà fondamentale degli endomorfismi simmetrici, contenuta nella diagonalizzabilità di ogni endomorfismo simmetrico.