Limite di funzione infinito e infinito

Limite di funzione a + infinito e - infinito

Si calcoli, se esiste, il seguente limite

(lim x→+∞) log( 1 + 1/x )(lim x→+∞) [x^3x-sinx+x³] / [3^x-arctanx]

Poiché il (lim x→+∞) log(1+1/x) = 0 e (lim x→+∞) [x^3x-sinx+x³ / 3^x-arctanx ]= ∞

Il limite dato si presenta nella forma indeterminata 0·∞.

Bisogna pertanto ricondursi per quanto possibile a limiti noti e poi calcolare il limite che ci interessa.

Notiamo che nel numeratore della frazione a destra prevale x^3x, mentre al denominatore prevale 3^x.

Quindi possiamo metterli in evidenza ed ottenere:

(lim x→+∞) log( 1 + 1/x )x^3x ( 1 - sinx/x^3x + x³/x^3x ) / 3^x ( 1 - arctanx/3^x )

Inoltre, dato che 3^x·(3^x ) / x^3x = p^x, possiamo semplificare ottenendo

(lim x→+∞) log( 1 + 1/x )p^x ( 1 - sinx/x^3x + x³/x^3x ) / 1 - arctanx/p^x

Dall'altra parte portando x al denominatore si riduce a

(lim x→+∞) log( 1 + 1/x )( 1 - sinx/x^3x + x³/x^3x) / 1 - arctanx/3^x

Quest'ultimo limite non è più in forma indeterminata; essendo il limite del prodotto uguale al prodotto dei limiti esso diventa:

(lim x→+∞) log( 1/ϵ ) / x (lim x→+∞) [1 - sin0/x^3x + x³/x^3x / 1 - arctanx/p^x]

Il primo limite lo risolviamo ponendo 1/x = t, e si avrà che se x→+∞, t→0, quindi facendo la sostituzione

(lim t→0) log(1 + t) / t

Il limite (lim t→0) log(1 + t)/t è un limite notevole ed è uguale ad 1 e avremo pertanto

(lim t→0) log(1 + t)/t = 1

Il secondo limite, invece, tende a:

(lim x→+∞) [1 + sin0/x^3x + x³/x^3x / 1 - arctanx/p^x] = 1 + 0 + 0 / 1 - 0 = 1

Poiché sin x è sempre compreso tra -1 e 1 e quindi diviso x^3x tenderà a 0. Inoltre arctan x tende a 0 per x→+∞.