Definizione di limite infinito

Definizione di limite infinito Definizione di limite infinito

Limite infinito per x tendente a un valore finito

Applicando la definizione, verifichiamo che \( \lim_{x \to 4} \frac{1}{(x - 4)^2} = +\infty \).

Dobbiamo verificare che, scelto \( M > 0 \), arbitrariamente grande, esiste un intorno completo di 4 per ogni \( x \) del quale, con l’esclusione al più di 4, si ha: \(\frac{1}{(x - 4)^2} > M\).

Poiché \((x - 4)^2 > 0\) per ogni \( x \neq 4 \), possiamo passare ai reciproci invertendo il verso della disuguaglianza: \((x - 4)^2

Escluso \( x = 4 \), l’intervallo \(\left| 4 - \frac{1}{\sqrt{M}} ; 4 + \frac{1}{\sqrt{M}} \right|\) è un intorno completo di 4 in cui il valore della funzione è maggiore di \( M \), quindi il limite è verificato.

L’intorno è circolare e ha raggio \( \delta = \frac{1}{\sqrt{M}} \).

Verifichiamo che _x→2 ^-2⁄_|x-2| = -∞, mediante la definizione.

Dobbiamo verificare che, scelto M > 0, arbitrariamente grande, esiste un intorno completo di 2 per ogni x del quale, escluso al più 2, si ha ^-2⁄_|x-2| < -M:

^-2⁄_|x-2| < -M → ²⁄_|x-2| > M.

Poiché |x-2| > 0 per x ≠ 2, possiamo passare ai reciproci invertendo il verso della disuguaglianza: |x-2|⁄2 < 1⁄M → -2⁄M < x-2 < 2⁄M → 2 - 2⁄M < x < 2 + 2⁄M.

Per ogni x, escluso x = 2, dell’intorno completo ]2 - 2⁄M; 2 + 2⁄M[ di 2, il valore della funzione è minore di -M, quindi il limite è verificato. L’intorno è circolare e ha raggio δ = 2⁄M.

Limite per x tendente a più infinito

Applicando la definizione di limite, verifichiamo che \( \lim_{{x \to +\infty}} \frac{{3x + 1}}{x} = 3 \).

Scelto \( \varepsilon > 0 \), dobbiamo verificare che esiste un intorno di \( +\infty \) per ogni \( x \) del quale si ha: \( \left|\frac{{3x + 1}}{x} - 3 \right|

Risolviamo la disequazione, con \( x \neq 0 \):

\[\left|\frac{{3x + 1 - 3x}}{x}\right| \frac{1}{\varepsilon}\]

\(-x \frac{1}{\varepsilon}\).

La disequazione è verificata in particolare per \( x > \frac{1}{\varepsilon} \), cioè per ogni \( x \) dell’intorno \( \left] \frac{1}{\varepsilon}, +\infty \right[ \) di \( +\infty \): il limite è verificato.

Limite per x tendente a meno infinito

Mediante la definizione, verifichiamo \( \lim_{{x \to -\infty}} e^{2x} = 0 \).

Dobbiamo verificare che, fissato \( \varepsilon > 0 \), esiste un intorno di \( -\infty \) per ogni \( x \) del quale si ha \( |e^{2x} - 0|

Risolviamo la disequazione:

\(|e^{2x}|