Le derivate problemi svolti di massimo e minimo

Analisi matematica

Le derivate

Problemi di massimo e minimo

Esercizi svolti

• 489 Sulla semicirconferenza di diametro AB, con AB = 2r, determina un punto P tale che, dette M e H le sue proiezioni ortogonali rispettivamente sulla retta tangente in A alla semicirconferenza e sul diametro AB, sia massima l'area del rettangolo AHPM.
• 498 Fra tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza trova quello di perimetro massimo.
• 499 In un cerchio di raggio r considera la corda AB = r√3. Trova un punto P sul maggiore dei due archi AB in modo che l'area del triangolo PAB sia massima.
• 500 Dato il settore circolare OBA, di centro O, con ÂÔB = π/3, considera su AB un punto P. Considera inoltre il punto Q intersezione fra OB e la parallela a OA condotta da P. Di Q e di r traccia le rispettive proiezioni H e K su OA. Trova P in modo che sia massimo il perimetro del rettangolo PQRS.
• 501 Sia data una circonferenza di raggio r e una retta l tangente alla circonferenza in un suo punto A. Da un punto variabile R della circonferenza è mandata la perpendicolare RQ a l, con Q appartenente a l. Determina il valore massimo dell'area del triangolo PQR. (CAN Canadian Mathematical Olympiad)
• 502 Data una semicirconferenza di diametro AB = 2r, a partire da B considera nell'ordine i punti C e D della semicirconferenza tali che ÂÔC = 2 × ÔB. Determina questi due punti in modo che la somma delle basi del trapezio HCDK sia massima, essendo H e K proiezioni di C e D su AB.
• 503 Sia data una circonferenza di raggio r e centro O. Fissati un suo diametro AB e un punto C su di essa, siano l a retta tangente alla circonferenza in C e la retta per O perpendicolare al diametro AB. Detto D il punto di intersezione tra le due rette, determina l’angolo BÔC in modo che la differenza tra l’area del triangolo AOD e la metà dell’area del triangolo COD sia minima.

Analisi matematica

Le derivate

Problemi di massimo e minimo

Esercizi svolti

• 489 Sulla semicirconferenza di diametro AB, con AB = 2r, determina un punto P tale che, dette M e H le sue proiezioni ortogonali rispettivamente sulla retta tangente in A alla semicirconferenza e sul diametro AB, sia massima l’area del rettangolo AHP M.
• 488 Fra tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza trova quello di perimetro massimo.
• 499 In un cerchio di raggio r considera la corda AB = r√3. Trova un punto P sul maggiore dei due archi AB in modo che l’area del triangolo PAB sia massima.
• 500 Dato il settore circolare OBA, di centro O, con ∠AÔB = π/3, considera su AB un punto P. Considera inoltre il punto Q intersezione fra OB e la parallela a OA condotta da P. Di Q e di P traccia le rispettive proiezioni K e S su OA. Trova P in modo che sia massimo il perimetro del rettangolo PQRS.
• 501 Sia data una circonferenza di raggio r e una retta l tangente alla circonferenza in un suo punto D. Da un punto variabile R della circonferenza è mandata la perpendicolare RQ a l, con Q appartenente a l. Determina il valore massimo dell’area del triangolo PQR.
• 502 Data una semicirconferenza di diametro AB = 2r, a partire da B considera nell’ordine i punti C e D della semicirconferenza tali che ÔC = 2 ⋅ ÔB. Determina questi due punti in modo che la somma delle basi del trapezio HCDK sia massima, essendo H e K proiezioni di C e D su AB.
• 503 Sia data una circonferenza di raggio r e centro O. Fissati un suo diametro AB e un punto C su di essa, siano l la retta tangente alla circonferenza in C e la retta per O perpendicolare al diametro AB. Detto D il punto di intersezione tra le due rette, determina l’angolo ÔC in modo che la differenza tra l’area del triangolo AOD e la metà dell’area del triangolo COD sia minima.

Esercizio 489: soluzione

AB = 2r

AH = PH

AM = HP

PBO = x

Area = AH ⋅ PH

PH = PB ⋅ sin x

PB = AB ⋅ cos x = 2r ⋅ cos x

PH = 2r ⋅ AM ⋅ cos x

AH = AB - HB

HB = PB ⋅ cos x = 2r ⋅ cos² x

AH = 2r - 2r ⋅ cos²x = 2r(1 - cos²x)

Funzione da ottimizzare:

f(x) = 2r(1 - cos²x) ⋅ 2r ⋅ sin x ⋅ cos x

= 4r² (1 - cos²x) ⋅ sin x ⋅ cos x

= 4r² (sin² x) ⋅ (sin x ⋅ cos x)

= 4r² ⋅ sin³ x ⋅ cos x

f'(x) = 4r² [3 ⋅ sin² x ⋅ cos x ⋅ cos x + sin³ x ⋅ (-sin x)]

= 4r²[3 sin² x ⋅ cos² x - sin⁴ x]

= 4r² [3 sin² x (1 - sin² x) - sin⁴ x]

= 4r² [3 sin² x - 3 sin⁴ x - sin⁴ x]

= 4r² [3 sin² x - 4 sin⁴ x] = 4r² ⋅ sin² x(3 - 4 sin² x)

f'(x) >= 0

hπ²·sin²x·(3-h·sin²x) >= 0

sin²x >= 0 ∀ x ∈ ℝ

3-h·sin²x >= 0

sin²x <= 3/4

-√3/2 <= sinx <= √3/2

0 < x <= π/3

f''x >= 0

Linea di minima

Per x = π/3 (60º)

Esercizio 488: triangoli inscritti

Fra tutti i triangoli iscritti in una semicirconferenza trova quello di perimetro massimo.

(il triangolo rettangolo isoscele)

x

Immagine associata in una semicirconferenza come triangolo rettangolo

0 < x < 90

AB = 2r

Poniamo ∠CAB = x

Perimetro: AC + BC + AB

AC = AB · cos y = 2r cos x

BC = AB · sin y = 2r sin x

ep(x) = 2r + 2r cos x + 2r sin x

f(x) = 2r (1 + cos x + sin x)

f′(x) = 2r (-sin x + cos x)

cos x = sup > 0

sin x ≤ cos x

tan φ ≤ 1

x = π/4

f(x) è massimo per x = π/4

Quindi il triangolo è quello isoscele

Esercizio 499: corda e area del triangolo

In un cerchio di raggio r considera la corda AB = r√3. Trova un punto P sul maggiore dei due archi AB in modo che l’area del triangolo PAB sia massima.

AB₁ = r√3

AB = 2r cos AB₂ = r√3 = 30°

A_PAB = 30° + x

Area di ABP = ^{AB₂ ⋅ PH} / ₂ = f(x)

PH = 2r cos x ⋅ sin(30 + x)

AP = 2r cos x

Formule di addizione del seno:

sin(30 + x) = sin 30 ⋅ cos x + sin x ⋅ cos 30 = ¹/₂ cos x + √3/2 ⋅ sin x

A_abc = ^r2√3 / ₂ ⋅ (cos x ⋅ √3 sin x ⋅ cos x)

f' (x) = ^r2√3 / ₂ [2 sin x cos x + √3(cos² x - sin² x)]

Esercizio 500: settore circolare

Dato il settore circolare _OBA, di centro _O, con:

AÔB = π/3

QP ‖ ÔA

ÔA = ÔB = ÔP = r

QR ⊥ ÔA

PÔA = x

Funzione perimetro = 2(RS + SP)

SP = QR = r sin x

RS = QP = OS + OR

QS = r cos x

OR ⇒ QR = ^QR/_Ω = QR/^{tan 60}/_√3.

OR = r sin x / √3

RS = r cos x + ^{r sin x}/_√3

= r(cos x - ^{sin x}/_√3).

f’(x) = 2(cos x + ^{sin x}/_√3 + ^{cos x}/√3) = 2(cos x(1 - ^√3/₃) - sin x)

f’(x) > 0

cos x(1 - ^√3/₃) > sin x

1 > ^√3/₃)_{sin x/cos x}

x = arctan(1 - ^√3/₃)

Esercizio 501: area del triangolo PQR

Sia data una circonferenza di raggio r e una retta tangente alla circonferenza in un suo punto P.

Da un punto variabile R della circonferenza è mandata la perpendicolare RQ a l, con Q appartenente a l.

Determinare il valore massimo dell'area del triangolo PQR. (CAN Canadian Mathematical Olympiad)

^_√33

f(x) = area di PQR

= 1/2 PQ * QR

PQ = PR . cos (90 - x)

= 2 r cos x . sin x

QR = PR . sin (90 - x)

= 2 r cos x . cos x

= 2 r cos² x

f(x) = 1/2 . 2 r cos x sin x . 2 r cos² x

= 2r² (cos³ x sin x)

f'(x) = 2r² * [ 3 cos² x (sin x) (sin x) + cos³ x cos x ]

= 2r² [ - 3 cos² x sin² x + cos⁴ x ]

= 2r² ( 4 cos⁴ x + 8 cos² x - 3 cos⁴ x)

= 2 r² (_{^{n cos4 x}} - 3 cos² x)

f'(x) = \cos^2 x \ (\ln \cos^2 x -3)

f'(x) \geq 0

\cos^2 x \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}

\ln \cos^2 x - 3 \geq 0

\cos^2 x \geq \frac{3}{4}

\frac{-\sqrt{3}}{2} \leq \cos x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{-\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6}

f(x) \, \text{è massimo per} \, x = \frac{\pi}{6} \ (30^{\circ})

A_{max} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)

= 2 \cdot c \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3

= \frac{\pi^2 \cdot 3 \sqrt{3}}{8}

Esercizio 502: trapezio HCDK

Data una semicirconferenza di diametro AB = 2r, a partire da B considera nell’ordine i punti C e D della semicirconferenza tali che ÐOC = 2 . ÐÔB.

Determina questi due punti in modo che la somma delle basi del trapezio HCDK sia massima, essendo H e K proiezioni di C e D su AB. = an √2/2 =35°

ÐÔC = 2 ÐCÔB

AB = 2r

OD = OC = OB - OA = r

ƒ(x) = DK + CH

â = π/3

cos x

DK = OD . sin = sin - (2x+x) = OD . sin 1 - 3x = OD sin 3x

DK sin (3)

CH = OC . sin (x)

= x sin (x)

ƒ(x) = x cos (x) + so • sin x

= X cos (3x) . 3 + cos (x)]

ƒ'(x) = x . [...]

Formula di triplicazione

cos 3x 4 cos^3x - 3 cos x

ƒ'(x) = X [2 -12 cos^2x + 8 cos x + cos x

= x [12 cos^2 x - 8 cosx+]

= x 4 cos x (3 cos x - 2)

cos x ≥ 0→ x π = W/2

3cos^2 x - 0→ cos^2 x > 2

cos x ≤ -√(2/3) ∨ cos x > √(2/3) → x ≤ arccos(√(2/3))

f(x) è massimo per x = arccos(√(2/3)) ≈ 35°

Lo stesso massimo si ottiene perché x = arccos(-√(2/3)) ≈ 145° e quindi x > 180°

Quindi i punti D andrebbero fuori la semicirconferenza

Esercizio 9503: differenza di aree

9503 Sia data una circonferenza di raggio r e centro O. Fissati un suo diametro AB e un punto C su di essa, siano t la retta tangente alla circonferenza in C e s la retta per O e perpendicolare al diametro AB. Detto D il punto di intersezione tra le due rette, determina l’angolo BÔC in modo che la differenza tra l’area del triangolo AOD e la metà dell’area del triangolo COD sia minima. BÔC = ^π/₃ s | | t

AO = OB = OC = r

BÔC = x

f(x) = Area di AÔD - 1/2 Area di CÔD

Area di AÔD = 1/2 * AO * OD

AÔD = 30°

OD in OÔD:

OB = cos(90-x) = OC = r

OB = r / cos(90-x) = r / sin x

Area di AÔD = 1/2 * r * r / sin x - r² / 4 * sin x

Area di CÔD = CB * OC = CB * OC

CB = OB * sin(90-x) = OB * cos(x)

= r / sin x * cos x

Area di OÔD = 1/2 * π * r * cos x / sin x - r² / 4 * cos x / sin x