Le derivate, massimi minimi e flessi. Problemi svolti

Analisi matematica

Esercizi e problemi svolti

• Problemi di massimo e minimo
• Marzo 2021
• N°61

È data la cubica: , , , ∈ ∧ 0. Verifica che ammette sempre un punto di flesso.

Determinazione dei parametri

a. Determina il valore dei parametri per cui la curva sia quella rappresentata in figura, in cui il flesso si trova in O.

Dopo aver trovato l’equazione della retta t tangente

c. Nell’origine O, considera una retta passante per O e compresa tra l’asse x e t. Determina la retta che rende massima l’area del triangolo APB, dove con P si è indicato il punto di intersezione tra la retta e la cubica nel primo quadrante.

Calcolo del flesso

a) La funzione ammette un flesso se la derivata seconda si annulla almeno in un punto del dominio. Calcoliamola e cerchiamone gli zeri:

• Derivata prima: 3x² - 6x + 2
• Derivata seconda: 6x - 6

La derivata seconda si annulla per x = 1. Quindi, esiste un punto di flesso.

Determinazione dei parametri a, b, c, d

b) Troviamo i parametri a, b, c, d. Imponendo le condizioni ricavabili dal grafico:

• La curva passa per l’origine, quindi d=0.
• La funzione ha un massimo in x=2, quindi y’(2)=0.
• La funzione ha un flesso in x=0, quindi y’’(0)=0.
• La funzione assume valore 4 nel punto di massimo, quindi y(2)=4.

Scriviamo il sistema risolvente:

• 12a + 4b + 0c + d = 0
• 2a + 0b + 8c + d = 0
• 4a + 2b + 0c + d = 4

Risolviamo il sistema:

• a = 1, b = -3, c = 0, d = 0.

Equazione della tangente

c) Equazione della tangente nell’origine: y' = 3x² + 3.

La retta tangente ha equazione: y = 3x.

Determinazione della retta ottimale

Troviamo la retta che rende massima l’area di APB.

Troviamo le coordinate dei vertici A e B che sono due zeri di f(x).

P è un punto della curva, esprimiamo le sue coordinate:

• * + ; 3 - 40000./ √3

Sia AB la base del triangolo:

• e l’altezza relativa ad essa, scriviamo la funzione area da ottimizzare:

• ./ ⋅ (3' 2 - 14√3 ⋅ 4 3 5 14(3' 2√3 ⋅ + 3 - 2 4)

Calcoliamo la derivata prima:

3(3' 2√3 ⋅ + 3-43)

Studiamo segno e zeri:

• + 3- ≥ 0
• 4 ≤ 42 ≤ ≤ 20 < ≤ 2

Il punto P è nel primo quadrante: f(x) è massima in x=2.

Le coordinate di P: 1 '2; * + ; 3 - 4(4:: 2

La retta cercata ha equazione:

N°63

La curva rappresentata in figura ha equazione: , , , ∈ . con Determina a, b, c, d, tenendo conto che F è un punto di flesso con tangente t.