Le Derivate

Le derivate

f: I ⊆ ℝ → ℝ x → f(x)

x₀ ε I

lim_h→0 (f(x₀+h) - f(x₀))/h = f'(x₀)

(h = incremento)

Sopposto incrementabile

Condizione necessaria: è che f sia continua in x₀. Una funzione è derivabile se prima di tutto è continua in tutto x₀.

lim_h→0 f(x₀+h) - f(x₀) - hf'(x₀) = 0

Geometricamente la derivata è il coefficiente angolare della retta tg al grafico della funzione in x₀.

Le derivate

f : I ⊂ ↠ ↠ R x → f(x)

x₀ ∈ I

lim f(x₀+h) - f(x₀) / h

h→0

Presa una funzione definita in I appartenente ad R, tale che ad ogni x associ _f(x), con x appartenente ad I.

Se il limite … ed è finito.

Derivato di f(x) in x₀

(h = incremento)

Sopposto incremento

Condizione necessaria è che f sia continuo in x₀. Una funzione è derivabile se, prima di tutto, è continua in tutto x₀.

lim f(x₀+h) - f(x₀) - f′(x₀) = 0

h→0

Va a f′(x₀)

lim f(x₀+h) - f(x₀) = hf′(x₀)

h→0 h

Nie incrementale e sue θ(h), cioè qualcosa che va a 0 più rapidamente di h.

lim (x+h) = f(x₀) → f′(x₀) = 0 ⇒ lim f(x₀+h) - f(x₀) = 0

h→0 h h→0

Geometricamente la derivata è il coefficiente angolare della retta têg al grafico della funzione in x₀.

f(x) f(x+h) α

Con il rapporto coleno dell'ô têg trigonometriche dell'angolo α

x X + h

Infatti:

y - y_o = f'(x_o)(x - x_o)

ŷ = f(x_o) + f(x_o)(x - x_o)

Se una funzione è continua in un punto ciò implica che lo sarà anche in un intorno (intervallo) di quel punto.

Derivate di alcune funzioni elementari

D senx = cosx

lim_h→0 sen(x_o+h)-senx_o / h = lim_h→0 2 cos(x_o + h + x_o) sen((x_o + h - x_o)/2) / h → lim_h→0 cos 2x_o (h/2) = 1/2-cosx_o

D cosx = -senx

lim_h→0 (cos(x_o+h)-cosx_o) / h → 2 sen 2x_o (h/2) sen(h/2) / h/2 = -senx_o

D c = 0

f(x_o+h) = f(x_o) = c e suo costante

lim_h→0 c-c / h = 0

D_x = 1

lim_h→0 (x₀+h)-x₀/_h = 1

D_e^x = e^x

è l'unica funzione che ha per derivata se stessa.

{ y = y'

y(0)=1

Problema di Cauchy → è l'unica soluzione possibile è e^x

Algebra delle derivate

Prendiamo f e g

af(x) + βg(x) è una loro combinazione lineare

(af(x) + βg(x))' = (af(x) + βg(x))'_|x0

(calcolato in x₀)

La derivata di una combinazione lineare è la combinazione lineare delle derivate.

Perciò: (teorema di derivazione e lineare)

lim_h→0 af(x₀+h) + βg(x₀+h) - [af(x₀) + βg(x₀)] / _h = lim_h→0 α / h [f(x₀+h) - f(x₀)] - β / h [g(x₀+h) - g(x₀)] - αf(x)' + βg(x)'

D(af(x) + βg(x)) = af'(x) + βg'(x)

Derivata del prodotto

Siano f e g derivabili; quindi continue e definite in x₀.

K(x) = f(x) . g(x)

K(x) è ancora continua

lim_h→0 k(x₀ + h) - k(x₀)h = lim_h→0 f(x₀ + h) · g(x₀ + h) - f(x₀)g(x₀)h = lim_h→0 f(x₀ + h)g(x₀ + h) - f(x₀)g(x₀) + f(x₀)g(x₀ + h) - f(x₀)g(x₀)h = lim_h→0 f(x₀ + h)h = f(x)g'(x₀) + g(x)f'(x)

D(f · g(x)) = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)

f(x) = f(x); 1

g(x) g(x)

Applico la regola di derivazione del prodotto e quella del reciproco.

g definita e continua in x₀, ma ≠ 0

g(x) ≠ 0; deriv. in x₀

G(x) = 1g(x)

Devo dimostrare che DG(x) = - g'(x)g²(x)

lim_h→0 G(x₀