Lavoro totale di un gas perfetto

Lavoro totale del gas e la differenza di energia interna di un gas perfetto

Lavoro totale del gas e la differenza di energia interna di un gas perfetto.

Un litro di un gas, il cui comportamento è descritto da un gas perfetto, inizialmente alla pressione di 1 atm, viene fatto espandere a temperatura costante, fino a raddoppiare il volume. Il gas viene quindi compresso a pressione costante, fino a tornare al volume iniziale. Infine, il gas viene ancora compresso a temperatura costante, fino a tornare alla pressione iniziale.

Sapendo che, nel processo a pressione costante, il calore ceduto dal gas è di 60 J, si calcoli il lavoro totale del gas e la differenza di energia interna del gas tra lo stato iniziale e quello finale.

Che cosa non conosciamo?

• Non conosciamo il numero di moli.
• Non sappiamo il tipo di gas (monoatomico, etc..), quindi non conosciamo il calore specifico.
• Non conosciamo la temperatura iniziale.

Che cosa sappiamo?

• È un gas perfetto => PV = nRT (a T costante => PV = costante).
• DU = nCv DT.

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Ricaviamo pressione e volume per i quattro punti A, B, C, D

I punti A e B sono connessi da una trasformazione isoterma, quindi P_AV_A = nRT_A ; P_BV_B = nRT_A => P_AV_A = P_BV_B.

Dato che V_B = 2 V_A si ha:

P_AV_A = P_B 2V_A => P_B = P_A/2.

Comprimendo il gas a pressione costante il gas si raffredda cedendo il calore Q_BC = -60 J.

I punti C e D sono di nuovo legati da una trasformazione isoterma.

P_CV_C = nRT_C ; P_DV_D = nRT_C [T_C < T_A] => P_CV_C = P_DV_D.

Dato che P_C = P_B = P_A/2 [isobara] e V_C = V_A, abbiamo:

(P_A/2) V_A = P_A V_D => V_D = V_A/2.

Riassumendo

• A: P_A = 1 atm ; V_A = 1 l.
• B: P_B = P_A/2 = 0,5 atm ; V_B = 2V_A = 2 l.
• C: P_C = P_B = 0,5 atm ; V_C = V_A = 1 l.
• D: P_D = P_A = 1 atm ; V_D = V_A/2 = 0,5 l.

Calcoliamo il lavoro lungo le tre trasformazioni

AB: isoterma.

DU = Q - L = nCv DT = 0 => Q = L.

L = integral p dV = integral nRT/V dV = nRT_A integral dV/V = nRT_A ln(VB/VA) = nRT_A ln VB/VA.

L_AB = nRT_A ln 2.

Q_AB = nRT_A ln 2.

BC: isobara.

L = integral p dV = P_B integral dV = P_B (V_C - V_B) = P_B (V_A - 2 V_A).

L_BC = - P_A/2 . V_A.

Q_BC = -60 J.

CD: isoterma.

DU = 0 ; Q = L.

L_CD = nRT_C ln V_D/V_C = nRT_C ln((V_A/2)/V_A) = nRT_C ln 1/2.

L_CD = - nRT_C ln 2.

Q_CD = - nRT_C ln 2.

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