Lavoro totale di un gas perfetto

Lavoro totale del gas e la differenza di energia interna di un gas perfetto.

Lavoro totale del gas e la differenza di energia interna di un gas perfetto.

Un litro di un gas, il cui comportamento è descritto da un gas perfetto, inizialmente alla pressione di 1 atm, viene fatto espandere a temperatura costante, fino a raddoppiare il volume.

Il gas viene quindi compresso a pressione costante, fino a tornare al volume iniziale.

Infine, il gas viene ancora compresso a temperatura costante, fino a tornare alla pressione iniziale.

Sapendo che, nel processo a pressione costante, il calore ceduto dal gas è di 60 J, si calcoli il lavoro totale del gas e la differenza di energia interna del gas fra lo stato iniziale e quello finale.

Che cosa non conosciamo?

• Non conosciamo il numero di moli
• Non sappiamo il tipo di gas (monoatomico, etc..)
• Quindi non conosciamo il calore specifico
• Non conosciamo la temperatura iniziale

Che cosa sappiamo?

• È un gas perfetto → pv = nRT (a T costante → PV = cost)
• ΔU = nCvΔT

Ricaviamo pressione e volume per i quattro punti A, B, C, D

• I punti A e B sono connessi da una trasformazione isoterma, quindi

P_AV_A = nRT_A ; P_BV_B = nRT_A → P_AV_A = P_BV_B

Dato che V_B = 2V_A si ha:

P_AV_A = P_B2V_A → P_B = ^P_A/₂

• Comprimendo il gas a pressione costante il gas si raffredda cedendo il calore Q_BC= -60 J.

• I punti C e D sono di nuovo legati da una trasformazione isoterma

P_CV_C = nRT_C ; P_DV_D = nRT_C [ T_C < T_A ]

→ P_CV_C = P_DV_D

Dato che P_C = P_B = ^P_A/₂ [ Isobara ] e V_C = V_A, abbiamo:

^P_A/₂V_A = P_AV_D → V_D = ^V_A/₂

Riassumendo

A:   P_A = 1 atm   ;   V_A = 1 l

B:   P_B = ^P_A/₂ = 0.5 atm   ;   V_B = 2V_A = 2 l

C:   P_C = P_B = 0.5 atm   ;   V_C = V_A = 1 l

D:   P_B = P_A = 1 atm   ;   V_D = ^V_A/₂ = 0.5 l

• CALCOLIAMO IL LAVORO LUNGO LE TRE TRASFORMAZIONI
• AB: ISOTERMA

ΔU = Q-L = nC_VΔT = 0 ⇒ Q = L

L = ∫_VA^V_B p dV = ∫_VA^V_B nRT_A dV / V = nRT_A ∫_VA^V_B dV / V = nRT_A ln V_B / V_A

L_AB = nRT_A ln 2

Q_AB = nRT_A ln 2

• BC: ISOBARA

L = ∫_VB^V_C p dV = P_B ∫_VB^V_C dV = P_B (V_C - V_B) = P_B (V_A - 2V_A)

L_BC = -P_A / 2 ⋅ V_A

Q_BC = -60 J

• CD: ISOTERMA

ΔU = 0   ;   Q = L

L_CD = nRT_C ln V_D / V_C = nRT_C ln (V_A / 2) / V_A = nRT_C ln 1/2

L_CD = -nRT_C ln 2

Q_CD = -nRT_C ln 2

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