L'asta sospesa

L'asta sospesa

Statica

Una sbarra non omogenea, di lunghezza L = 1 m e massa M, è sospesa orizzontalmente (come in Figura 8.5) a due pareti verticali mediante due cordicelle leggere. Scrivere le equazioni generali per l'equilibrio del sistema. Successivamente, supponendo che sia θ = 60°, φ = 45° ed M = 20 kg, trovare a che distanza x dall'estremo A della sbarra si trova il baricentro della stessa e calcolare le tensioni T_A e T_B sui fili di sospensione.

(Figura 8.5)

Poiché per ipotesi la sbarra non è omogenea non si conosce la posizione del suo centro di gravità G e pertanto indicheremo con x la sua distanza dall'estremo A (Figura 8.5). Scomponiamo ora le tensioni T_A e T_B nelle loro componenti orizzontali e verticali verificando geometricamente che esse sono:

T_AX = T_A senθ

T_AY = T_A cosθ

T_BX = T_B senφ

T_BY = T_B cosφ

Dopo aver fissato come polo per il calcolo dei momenti il punto A, possiamo scrivere le equazioni per l'equilibrio del sistema nel modo seguente:

T_B senφ - T_A senθ = 0

T_B cosφ + T_A cosθ - M g = 0

T_B L cosφ - M g x = 0

Per facilitare i calcoli, moltiplichiamo la (1) per cosθ e la (2) per senθ; quindi sommiamo membro a membro le due equazioni ottenute al fine di eliminare T_A; si trova dunque:

T_B (senφ cosθ + cosφ senθ) = M g senθ

Ricordando dalla trigonometria che (senφ cosθ + cosφ senθ) = sen (θ + φ), deduciamo in forma più semplice:

T_B = ^{M g senθ}⁄_sen(θ+φ)

La (3) risolta per T_B diventa:

T_B = ^{M g x}⁄_{L cosφ}

Dal confronto delle equazioni (4) e (5), si ottiene la seguente uguaglianza:

^{M g x}⁄_{L cosφ} = ^{M g senθ}⁄_sen(θ+φ)

che, semplificata e risolta per x, fornisce il risultato:

x = ^{L senθ cosφ}⁄_sen(θ+φ)