L'asta sospesa

L'asta sospesa

Statica

L'asta sospesa

Statica

Una sbarra non omogenea, di lunghezza L = 1 m e massa M, è sospesa orizzontalmente (come in Figura 8.5) a due pareti verticali mediante due cordicelle leggere. Scrivere le equazioni generali per l’equilibrio del sistema. Successivamente, supponendo che sia θ = 60°, φ = 45° ed M = 20 Kg, trovare a che distanza x dall’estremo A della sbarra si trova il baricentro della stessa e calcolare le tensioni T_A e T_B sui fili di sospensione.

Poiché per ipotesi la sbarra non è omogenea non si conosce la posizione del suo centro di gravità G e pertanto indicheremo con x la sua distanza dall'estremo A (Figura 8.5). Scomponiamo ora le tensioni T_A e T_B nelle loro componenti orizzontali e verticali verificando geometricamente che esse sono:

{ T_AX = T_A senθ                                { T_BX = T_B senφ   { T_AY = T_A cosθ                              { T_BY = T_B cosφ

Dopo aver fissato come polo per il calcolo dei momenti il punto A, possiamo scrivere le equazioni per l'equilibrio del sistema nel modo seguente:

                              { T_B senφ − T_A senθ = 0        (1)                              { T_B cosφ + T_A cosθ − M g = 0        (2)                              { T_B L cosφ − M g x = 0        (3)

Per facilitare i calcoli, moltiplichiamo la (1) per cosθ e la (2) per senθ; quindi sommiamo membro a membro le due equazioni ottenute al fine di eliminare T_A ; si trova dunque:

                                   T_B (senφ cosθ + cosφ senθ) = M g senθ

Ricordando dalla trigonometria che (senφ cosθ +cosφ senθ) = sen (θ + φ), deduciamo in forma più semplice:

                                  T_B = ^{M g sen θ}/_{sen (θ + φ)}            (4)

La (3) risolta per T_B diventa:

                                  T_B= ^{M g x}/_{L cosφ}            (5)

Dal confronto delle equazioni (4) e (5), si ottiene la seguente uguaglianza:

                                       ^{M g x}/_{L cosφ} = ^{M g sen θ}/_{sen (θ + φ)}

che, semplificata e risolta per x, fornisce il risultato:

                                   x = ^{L sen θ cosφ}/_{sen (θ + φ)}           (6)