La sfera d'argento nella glicerina

La sfera d'argento nella glicerina

Meccanica dei fluidi

La sfera d'argento nella glicerina

Meccanica dei fluidi

Una sfera d'argento di raggio r = 0,02 m (densità ρ_Ag = 10,50 g/cm³) cade verticalmente nella glicerina (densità ρ_G = 1,26 g/cm³ e viscosità η = 1,49 (N·s)/m²), partendo da ferma. Stabilire il metodo ottimale per il calcolo della velocità v_r della sfera (coefficiente di forma k = 0,4; accelerazione di gravità g = 9,8 m/s²).

Calcoliamo dapprima il peso della sfera mg e la spinta idrostatica S dovuta alla glicerina:

m g = (4/3) π r³ρ_Ag g

S = (4/3) π r³ρ_G g

Numericamente otteniamo:

m g = 3,45 N

S = 0,41 N

Come si può notare la spinta S è circa il 12% del peso e pertanto non può essere trascurata. Valutiamo ora la velocità critica v_c usando l’equazione (7) del problema 3.6 ponendo in essa η viscosità della glicerina, k = 0,4 coefficiente di forma della sfera, ρ_G densità della glicerina ed r raggio della sfera:

v_c = 12 η              k ρ_G g r

Si ottiene: v_c ≅ 1,8 m/s. Calcoliamo adesso le velocità di regime v_r1 e v_r2 utilizzando rispettivamente la sola legge di Stokes e poi quella quadratica, introducendo nelle relative equazioni le grandezze che interessano il nostro caso [vedere in proposito l’equazione (6*) del problema 3.6 e la (2) del problema 3.8] e sottraendo al peso la spinta idrostatica:

v_r1 = m g – S              6 π η r

v_r2 = √2 (m g – S)                   k ρ_G π r³